Full text of "Methodus differentialis: sive tractatus de summatione et interpolatione serierum infinitarum"

See other formats

igitized by Google 



Columtria illnitiffsit i' 
in tfir Cit? ol fltbj »ork 

LIBKARV 




Methodus Differentialis : 

S I V E 

TR ACTATUS 

D E 

SUM M ATIONE 

E T 

INTE RPOLATIONE 

Serierum Infinitarum. 



Auctore JACOBO STIRLING, R.S.S. 




LONDINI : 
Typis Gul. Bowyer. 

Impenfis G. Stkaham ad Infigne Globi aurati c regionc 
Excambii Rtgalis. Mdccxxx. 



Digitized by Google 



S/7. '■ 
SV S / 



Digitized by Google 



PRiEFATIO. 

UM fepijfime eveniat //; Series adeo lente 
convergant ad veritatem, ut non magis con- 
ducant ad finem propofitum quam fi revera 
ejfent dtvergentes ; exhibui quadam Theore- 
mata in parte prtore hujus Tratfatus, qui- 
bus prompte acceditur ad valores earum Serterum qu<e om- 
ntum lenttjftme approximant : Et eo quidem confilto y ut 
Problemata qua dependent ex ^htadraturts, eodem jure 
pro folutts haberi pojfint quo ea qua reducuntur ad JE- 
quationes affeclas. Htc enim non inquiro quanam Se- 
ries fint fummabiles 'ut ex tttulo nonnullt forfan conjiciant) 
fed quibus artibus ajfequamurvaloresearumqua Jummar.t 
nequeunt, 

Hujus generis Traftatum edidit Jacobus Gregorius in 
Appendtce ad Veram Circuli & Hyperbolae Quadratu- 
ram, ubi docuit modum facilltmum approximandi ad 
Areas harum Curvarum ex datts petpaucis polygonis pau- 
ciorum laterum. Eoque patlo methodum Exhaujiionnm 

B Archimedis 



2050 

■» 




P R M F A T I O. 

Archimedis expeditam adeo reddidtt, ut fi eadem metho- 
dus fari cnm fuccejfu ad reliquas Curvas extendi pojfct, 
frttftra impenderetur ultertor opera in eliciendts Areis. 
Gfaodque Gregorius ibi effecit in Serie polygonorum, idem 
fere nos hic generaliter proponimus in qualibet aita qua 
fimplici gaudet Terminorum relatione. 

Newtonum hac de re oltm meditatum fuifje conftai 
ex Epiflola ejus priori ad Oldcnburgum qua imprejfa 
habetur in Commercio Epiftolico Collinii. Ntmtrum 
pojlquam computo produxerat Aream Ctrculi ad fedecim 
decimales, inquit, Si alias artes adhibuuTem, potui per 
eundem numerum Terminorum Seriei, pervenifle ad 
multo plura loca figurarum, puta viginti quinque aut 
amplius : Sed animus fuit hic oftendere quid per fimplci 
Seriei computum praeftari pofTet. Attamen tnter fcripta 
ejus (hatJenus faltem edita) ne veftigium quidem extat 
t/nde conjeBuram faciamus de htfce arttbus, etiamft in* 
ftgnem eas proferendt occaftonem na&us ejfet in hac 
ipjtjfima Epiftola. In prtori ettam Eptftola ad ettndem, 
tbidem impreffa ,• narrat fe excogitajfe quadam circa 
RednBionem infinttarum Serterum in finttas ubi rei na- 
tura tttlerit: Ghta ft inter opera ejus poflhuma Juperfmt, 
proculdubio httic do&rina lucem haud exiguam prabebrtnt: 
Nam Theoremata gtneralta qua valores Serierum exht- 
bent accttrate, qttando id fieri potefl, in aliis cafibtts ne- 
ce/fe approxtmabunt, modo rite adhtbeantttr. 

Principhtm qttod in hunc effe&um vttlgo adducttur, eft 
Alfttmptto differentia duorum valorttm fnccejfivorttm att- 
cujus quantitattSy ut exinde formentur Termini quorum 
fttmma prius nota fuerat ; idem fctlicet principium, quo 
eltm ttfm eft Newtonus ad OrdmatamCurva deducendam 

i ex 



Oigitized by Google 



PR^FATIO. 

ex data Area. Qttod Itcet ftt unherfale m ^uadratu- 
rtSy eft particulare tantummodo in Summationibus ; 
quippe ad eas folummodo Series applicabile quarum 
Termini poffunt ajfignari : quum tamen aque facilis ftt 
ajfignatio Summa atque Termini in iis Seriebus qua 
magna ex parte in Quadraturis prodire folent. 

Fundamentum longe generalius fubminifiravit Mctho- 
dus Newtoni Differentialis : llle utique deJcribitCurvam 
Parabolicam per extremitates quotltbet Ordmatarum ftve 
Terminorum - y eaqtte ratione ajfignat valorem cttjujvis in- 
termedii per Seriem infinttam ; qua tamen ad verhatem 
non accedet fi Termtnus ille longe dijlet ab initio. Ut ob- 
tinerem igitur Terminos Serierum remotiffimos, defcripfi 
figuram Hyperbo/icam per extremitates Terminorum ; & 
res fttccejjtt) prodeunte valore Termini quantttmvis difian- 
tis, per Seriem convergentem. Sed & hoc Problemate 
generaiiter fo/uto, non iatuit cafus ejus faci/limus y frtpote 
inventio Termini infinito interva/lo diftantis a principio; 
qua quidem aquipo/let Sttmmationi Serierttm. Caterum 
defcriptio Curva cujufcunque Geometrica per data puntta, 
uni tantum Serierum generi fuj/icit : atqtte alia funt in- 
numera nullatenus traclanda ex hoc fnndamento. Nam 
valor Termini per Parabo/am attt Hyperbo/atn inventus y 
non approximat nifi ttbi dtjfereniia fecundum prafcripta 
Newtoniana fumpta conjtttuant progrejfionem ce/eriter 
fatis decrefcentem. 

Htfce 'perfpeflis, me tandem contuti ad contemp/andam 
Re/attonem Termtnorttmy proprietatem Serierum maxime 
injignem & fimp/icem, qua vulgo ad eas continuandas 
adhiberi folet: Non enim ignorabam Moivmim hanc 
Terminorum proprietatem fummo cum fuccejfu in Alge- 

bram 



1 



PR/EFATIO. 

bram inirodnxijfe, tanquam fundamentttm ad chjficillima 
circa Series recurrentes Problemata folvenda: Ideoqttede- 
creveram experiri num ad altas qttoque extendi pojfet : 
G)uod fane dubitabam cnm tanta fit inter recttrrentes at- 
que alias Series dtfcrepantia. At fatlo experimento y res 
prater fpem fttccejftt y deprehendi enim Inventum bocce 
Moivraranum continere principia generalijftma 8f etiam 
fimplicijfima non folum in Seriebus recurreutibits, fed & 
in quibujlibet aliis, in quibus relatio Terminorum varia- 
tur fecundum legem quamcunque regularem. Nam Ter- 
minorum relatio, etiamfi fit variabilis, facile tamen ajftg- 
nabilis efl: Atque exinde Summationes& Interpolationes, 
aliaque ejujmodi Problemata dijficiliora perdttcuntur ad 
quoddam gentts JEquationum, qu<e prater Radicem ex- 
trahendam involvttut altas quantitates incognitas qu<e ne- 
quemt elimtnari j quo non obftante, harum JEquationum 
refolutio perficitur nonnunquam fumma facilitate, non- 
nunquam vero non fuccedit ntfi mediantibtts Moivraei In- 
ventis circa aJfignationemTerminorum in Seriebus recur- 
rentibus. Et de hoc argumento totus fere agit hicce 
Ubellus. 

Probkma de invenienda Uncia media in permagna 
digmtate binomii folutum erat a Moivraeo ante aliquot 
annos quam ego idem atttgeram : Nec probabile efi 
quod in hunc ufque diem de eodem cogttafjem, ni fug- 
gejfiffet SpeBattJfimus Vtr, D'. Alex. Cuming, fe plu- 
rimurn fufpicari an idem folvi pojfet per Methodum 
Differentialem Newtoni. 



TRACTATUS 



Digitized by Google 




TRACTATUS 

DE 

SuMMATIONE & I N T E R P O L AT I O N E 

Serierumlnfinitarum. 

INTRODUCTIOi 

I C U T Curvjc non determinantur cx datis quotlibet 
earum ordinatis, fed ex rclationc inter Ablciflas & 
•Ordin.uas in genere ; ita neqge Series detcrminantur 
cx claris quotlibet earum Terminis, fed ex relatione irr- 
ter Terminos fucccfllvos. Quantitates enim quotcun- 
que, numero tamen finic&r, conftituere poflunt Termi- 
nos in divcrlis Seriebus : unica vero eft Serics in qua iidcm funt Tep- 
mini initiales, eademque lex formandi reliquos in infinitum. Rclationes 
igitur Terminorum primo loco indigandae funt; deinde h.-e invent* 
denotanda: funt /Equationibus DirTerentialibus perinde ac Cartefuu de- 
finivic Curvas /Equationibus Algcbraicis : quibus babicis Problemat* 

R circa . 




uigm 



zed by Google 



2 INTRODUGTIO. 

circa Summationcm & Interpolationem, aliaque iftiufmodi ad Series fpe- 
ftantia folventur per Analyfin non minus certam quam eft Algcbra vul- 
garis. 

De Relattone Termmorum. 

Termini Serierum binatim, tematim, aut plures numcro fumpti reU- 
tionem quandam magna ex parte inter fe obtinenc fimplicem & obviam, 
per quam Scries detcrminantur & producuntur ad libitum. Ut fi divi- 
daturunitas pcr i — *, prodibit progreffio Gcomctnca in quiTcrmmus 
quivis confequens eft ad illum immediate antecedentcm ut x ad unita- 
tcm. Pcrhancenim Proprietatcm Scrics i + X+* 1 +x' +x«+x' + 
&c. ab alia quavis diftinguitur 8: produciur in infinicum. 

Propomtur fraftio r JL&$ Jit m ^*™* 1 refd,vend * : U,um in fi- 
ncm fingc y =7+^+7^'' ac ducendo "tramquc partcm in De- 
nominatorcm, habebitur )Xr+7x+/xx = i, vel jxr+Jx+zxx 

I== o. Pro y fubftitue Seriem dcbitre formx A+Bx+Cx* + 

D.v' + Ex 4 +Fx r + &c. atquc refulubic 

, „ + rC? +fD? + rF ? 

fM ;'?V* + ' B ^+iCSx' + ; D ^x< fs E Vx< + &c. = o. 
_i+jAI ^ /A ^ + /B ^ +/ cS -WDS 

Ubi poncndo mcmbra homologa nihilo squalia, ad dcterminandum 
Cocmcientesaffumptos, erit rA-i =o, rB+i A=o; de.nderC + 
7b4-;A=o, r D+iC + /B = o, rE+jD + /C=o, & fic m in- 
finkum Ex quibus conftat eandcm ubiquc prodire rclauonem intcr 
tres quofcunque Tcrminos fucccffivos. Siroi iter ufurpando pro y Sen- 
em hujus form* A.v-> + B.v-> +C ; v-< + Dx-. 4 &c. & fubfti- 
uendo eandcm in ^quationc, rclulcabit 

+ /C? +/D^ +/E? 
/A + /B 11 , . , B '_ , + J C >x-> + j D Sx-« + &c. =o. 
-i+iAj + rB ^ +rC ^ 

Atoue iam ad detcrminandos Coefficiences, habcmus tfquationrs 
,A — i=o, /B + jA=o> tum rA + jB+/C = o, »*B + /C + 
,D = o r C + jD + : E = o, & ita dcinceps in rellquis. Ubi patet 
eafdem prodirc rclacumts ac in compuco fuperiore, fumptis tamcn Co- 
rmcienclbusinordine inverfo. Et quantitates r.1, U qu* .ndicant rela- 
tiooem Terminorum, escdem tunt qux m Dcnom.natorc fraftmn s. 



Digitized by Google 



JNTRODUCTIO. 3 

Hanc autcm harum Serierum Proprietatem, utcunque obvia fit, primus 
omniutn in ufus adhibuit D. Moivraus in folutione Problematum ctrca 
Series infinitas, quae alias forent intricatiffima. 

In plurimis aucem Seriebus relatio Terminorum non eft conftans uc 
in iis ex Divifione prodcuncibus j variatur tamen faepiffime fecundum 
notam Iegem oculi intuicu patcntem ; cujus rei Exempla funt Series 
quae pro Quadraturis vulgo proferuntur, aliaque innumera. Ut in hac 

1- J-y* 4" tt *' -|—f' *' ~l"T-r" x * 4" Tcrmini continuantur in in- 
fimtum per mulliplicationem continuam harum fractionum -J, 4 , ■% 
&c. Et in hac 1 * + x> -S-tIt*' +-!-{-- * 4j r P cr mu '" 

tiplicationem harum i^l, VLl t i2<i Z*l, &c. Et hae fraQiones 

r 2X3 4X5 C X7 »X9 

variantur fecundum legem cuivis manifeftamj atque adeo in- ipfarum 
afllgnatione, nulla erit difficultas. 

De Mquationibm Diferentialibm qua definiuntSeries. 

^quatio Scriem definiens ea eft, quac affignat relationem Termino- 
rum gcneraliter ex datis ipforum diftantiis ab initio. Concipiendi au- 
tem iunc Termini confiftere fuper rectam pofitione datam canquam co- 
tidem Ordinatae, quarum diftantia communis cft unicas. Unitacem 
vero fimplicitatis gratia ubique ufurpo in fequencibus pro inccrvallo 
communi : qtiod fcmel monuiffe fufficiat. 

Terminos Seriei initiales dcfigno literis Alphabeti initialibus A, B, 
C, D, Uc. A cft primus, B fccundus, C tertius, & fic porro. Ec 
Terminum quemvis in genere denoto litera T, atquc reliquos ordinc 
fuccedcntcs eadem litern, adjunctis numeris Rcmams I, II, III, IV, V, 
VI, VII, &c. diftinctionis gratia. Ut fi T fit decimus, ciit T' decimtw 
primus, T" decimus fecundus, T" dccimus tcrtius, & fic deinccps. 
Ec in generc quicunque Terminus definittir ptr T, fuccedcntcs defip.i- 
entur univerfaliter per T, T", T", T iv , &c. 

Diftantiam Termini T a Tcrmino quovis dato, vcl a punfto quovis 
dato inter duos quoflibet Trrminos intcnncdio, dcnoto qtiantitatc i.v 
dctermin.it. i 2: quo pr.cro dtftunti.-E Tenuinornm T', T v , T"\ &c. a 
praedi&o Tcrmino vel punflo, erunr. z-\- t, 2 -|- 2, 2 -{-3, &c. Nam 
incrcmentum AbfcifTre z aequale eft intcrvilio communi Tcrminorum 
fupra Ablciffam confiftentium : Etque qnnntitutcs 2, 2-J-i, 2-1-.', 

2- j-j, &c. fibi mutuo fucccdunc dumTermini poftcriorcsfucccdunt a;i- 
terioribus. 

Hifce praemiffis, proponntur Scries 1, .J-.v, -i.v*, x\ - * 4 , \ •", 
&c. ubi rclationcs Terminorum fur.t B = i A .v, C = i B.v, D = C.v, 



4 INTRODUTIO. 

z t i 

E = -J Dx, &c. relatio in gcncrc dcfinictur/EquationeT= ' T T x, 

z-J- 1 

ubi 2 dcfignat diftantiam ipfius T a primo Tcrmino Serici. Nam 
fcribendo o, i, 2, 3, 4, &c. fucceflivc pro z, prodibunt relationes 
Terminorum in Scrie propofita. Similiter fi z dcnotet diftantiam ipfius 

Ta fecundo Termino Scriei, .flsquatio erit T=. z ~fcr . Tx, uti con- 

2-f-Z 

ftabit fcribendo numeros — 1, o, 1, 2, 3, &c. fucceflivc pro 2. Vel fi 
indctcrminata 2 dcnotet locum Tcrmini T in Serie, ejus valores fuc- 

ceflivi crunt 1, 2, 3, 4. & c - & ^quatio T = i^H Tx; ut expe- 

2 

rienti patebit. 

Innumcra: igicur diverfse /Equationes Differentiales eandem Scriem 
dcfinire poflunt, prout in hoc vcl illo pun&o fumitur initium Abfcif- 
fie z. Et contra eadem TEquatio definit innumeras Series diverfas, ad- 
hibendo diverfos valores fucceflivos pro 2. Nam in iEquatione T = 

- 1 Tx, quse dcfinit Scriem de qua nunc egimus, quando 1, 2, 3, 

4, &c. funt valores Abfciflae ordine fuccedentes ; fcribe ij, i\ y 3t, 4', 
&c. fucceflive pro z, & provenient rclationes Terminorum B = 
2. Ax, C = T Bx, D = T Cx, &c. Unde fit Series A, f Ax, _■- A*\ 
" Ax\ 44f Ax 4 , &c. qu:e eft diverfa a priore. JEquatio autem femper 
determinat Sericm cx datis valoribus Abfciflae & fimul primo Termino, 
ubi ^Equatio involvit duos tantum Terminos Scriei. Ui in novilTima 
dantur omnes Termini ex dato primo A. Attamen ubi .flsquaiio invol- 
vit tres Terminos, oportct duos dari, & trcs ubi involvit qnatuor, & 
fic porro ad detcrminandam Sericm. 
ProponaturjamScriesx, -J-x', ,'t-x' »tti *'>Tn 1 *'» & c - UDI rclationes 

Tcrminorum funt B = Ax\ C = Bx ', D = C*', 

2X3 4X5 &X7 

&c. ^Equatio ad candcm erit T — 2Z 1 X * 2 ' T v', rrl 

T = 4- z 4*-jj2l T x', ubi valorcs fucccflivi indctcrminatse z funt 
422-J-iz 

1» 2, 3, 4, &c. Igitur in JEquatione definiente Sericm, Abfcifla z 
poteft cfle unius, duarum, vcl plurium dimcnfionum. 

Series quarum Tcrmini funt aflignabiles, definiri poflunt jEquationi- 
bus Tcrminos aflignantibus. Sic Scrics 1 — ' s x ~\- y x ' — 7 x 1 ~\- T x* 

x" 

— *&c. dcfinitur^quadoneT = -—--, ut conftabit fubftituendo o, 1, 

=, 3, 



Digitized by Google 



t 



INTRODUCTIO. 5 

2» 3» & c. pro 2. Atque ad eundem modum Series 



* 4 * 4 + ,\ *' + &c - dcnotatur per hanc T= _ Tales ^quatio- 

nes reduci fempcr poflunt ad eas alterius generis : nam ubi Termini func 
afilgnabiles, relationes eorum erunt etiam aflignabiles. Et duTerentia 
intcr has & illas raro tanta erit quin cuiquc tuto proccdere licucrit prooc 
fibivifum fuerit. 

Ex haftenus diclis conftac rclationes Terminorum confequentium de- 
rivari ex iis anteccdentium, fcribcndo pro 2 cjus valorcm fucccfllvum 

*+ 1 in ^quatione Differentiali. Proponatur ^quatio T= T j 

2 

fcribe 2+1 pro 2, T pro T, & T" pro T ; atque orieoK T= 

2 ~HH~' T', qua: eft relatio intcr Terminos T' & T*. In hac ulti- 
2+1 

ma fcribe valores variabilium confequentes 2 + 1, T\ & T\ pro an- 

tecedcntibus 2, T & T", & obtincbis T* = z +*+ 2 T rclati- 

2+2 

onem utique inter T" & T'. 

Sed & contraria operatione regredi licet ad relationem Termino- 
rum antecedentium cx data ea confequentium. Sic £quatio T= 

J+^ z » + 3 z+ z T '» & m eadem fcribe T P r0 T ' T P ro T "> & 
z — 1 pro 2; atque habebis T=~~j~ T. Hoc modo regredi- 

endo & progrediendo, poflunt Series continuari hinc inde in infinitum 
ubi earum natura tulerit: atque etiamfl ignoretur quinam Termini de- 
notcntur per T, T', T\ &c. inftituerc licec fuper iis computum, Can- 
quam efient prorfus cogniti. 

Aiquationes de quibus ha&enus egimus, involvunc duos tancum 
Termmos Seriei ; poflunt vero involverc plures, & tam Termini quam 
indeterminau z efle plurium dimenflonum. Ceterum in hoc fpccimine 
fimpliciores tantuin attingo. 

De Forma 6*f ReduBtone Serterum, 

Poftquam perduximus Series ad^quationes DuTerentiales, monftran» 
dum eu qua ratione esedem fint refolvendae in numeris. Nam A- 
nalyftse munus eft quanticaces quocunque modo determinatas eruere 
accurate vel quam proxime. Radices autem iEquacionum Differentia- 
lium commodiffime refolvuncur in Serics formarum iequentium 

C A+ 



6 INTRODUCTIO. 

A-f-Bz+Cz.z — i -|-Dz.z— i.z — 2+Ez.z — i . z — 2. z — 3 -f- &c. 

. 1 B ■ C 1 D 1 E ■ ^ 

*~z z.z-\- 1 ""z. z-j-i.z+z Z.Z+1.Z-J-2.Z4-3 

Quippe ubi z eft quantitas parva, prior forma erit adhibenda ; & po- 
ftcrior ubi magna. Et has Series quae componuntur cx Factoribus in 
progrcflione Arithmetica, longe magis idonese funt huic negotio quam 
vulgares qua: conflantur ex dignitatibus indeterminatse afcendentibus vcl 
defcendentibus. Infuper forma pofterior hoc habet commodi, quod 
in eadem poteft eflc z quantumvis fere magna, id quod cfficit Scricm 
celerrime convergcntem. 

Sin vero harum Scrierum formre per quaflibct operationes mutentur, 
debent revocari ad eafdem quarum prius erant, ut Termini reddantur 
homologi eorumque collatio inftitui poflit prout res cxigit. Ut fi ha- 
beatur /Equatio fequens ; 

T= A+Bz Cz. zZTi -f- Dz.z~. z^*2+ E 2.2— 1 ■ z — 2. zZT$ -\- & c. 

Eadcm ducta in z priftinam formam amittct, atquc novam induet, 
provcniente fcilicet 

Tz= Az-fBz 1 -f Cz T .2 — 1 + Dz\z— .1 ."24- Ez ' .zITi 1z~ZZ JZI^ 4. 

(&c. 

Uade conftat Terminos ejus comparari non pofle cum correfpondcn- 
tibus in Serie priore. Itaque ut debita forma reftituatur, flc operor 
A* ------- sAt, 

B** ..... - = B*-|-B* t-i, 

C* 1 . * — 1 iC**_ i-J-C**— 1.*— 1, 

Dt' t-i. t -i - - = * * 3Di i.x— r-f D* t— '3 

E*».*— 1 * — » * — 3= * * --- - * - - - 4E*x^i~i.IZ" 3 ^ &c. 

Adeoque colligendo Terminos homologos in unum, Series ad prifti- 
nam formam redufta erit 

Nimirum cum Tcrminorum ifMKoyl» ncutiquam pendeat ex Coeffici- 
entibus A, B, C, D, &c. fed omnino ex indeterminata z, Tcrminus 

i b} z P rimus in hac Scrie comparari poteft cum Bz fccundo io 
altera, itcm fecundus in hac cum tertio in illa, & fic in reliquis. 

Similiter fi in -fliquatione priore T= A + Bz-j-Cz.nTT-J-Dz. 
*— '•*— 1 + &c - fcribantur variabilium valores fuccedentcs pro prje- 
fentibus, hoccftT' pro T, & z + i pro z, eniergec 

T'= 



Digitized by Google 



INTRODUCTIO. 7 

T'=A+Br7T-l-C*"qp7.z-}-D£Tfl .z.~ x 4-Er+I.z,£I_7.Z-ri 4. &c. 

Eft vcro 
A = A, 

BZ+T =B+Bz, 

cr+7.2 ... - =* 2C24-CZ.*— 1, 

DI+T.z.r^i - - =*--*-- 3 Dz. t -i-|-Dz. 4 -i. t -» 
E*^7.2.Z-T7.*___=*--* • - - * 4E2.r^7.I^x+&c; 

Ec inde 

_i_A-j- B) -f- C? 4- D) .+ EV 

=4-B4.2cr4-3D r- fc -'4-4E i ^*-*- 1 4-5F »+^ 

Quae eft forma defiderata. 

Jiem vero harum Operationumfutidamentum. Quantitas reducenda, 
per multiplicationem reducatur ad Poteftat es Ind etcr minata ; z: d ein o- 
perare ad modum Exempli fcquentis. Sit * - 3X2X*+jX«T4 qu»n- 
titas reducenda 1 finge 

*— i X-X *hP"i X £ -r-H=32.* — 1 .* — 1.* — 3 4- bz^ — i cz.t,— i-f- ^2. 

Ubi maximus numerus Fa&orum in quantitate refoluta atqualis eft 
numero eorundem in quantitate refolvenda. Reducatur utraque quan- 
titas ad Poteftates Indetermuutae, fa&a multiplicatione, & habebitur- 

f>,i\ 4~ ,lfl 7 1 „ u 

2*4-22«— IIZ'_122 = *2«~ Jj-Z» — ^*'>2*"^J 

4-<0 

Atque comparando Terminos homologos, obtinebimus a = i,i — 
6_ = 2, r — 3 b-\-na = — 1 1, — c 4-2^—6- = —. 12 j ex quibus 
eruitur = 1, A=8 r = 2, = — 20; hinc fit quantius propoGra 
z«4" 2Z J — 1 i2 l — 1 2Z=2.t— ..I-TT.t— 3-j-82.i_T.^_rr4-2z.i,— 1— -2or. 

Et ad eundem prorfus modum procedere licet in aliis caGbus. Drc- 
vitatis autem gratia, accipe regulam fcqucniem. Uivide unitatem per 
Terminos hujus progreffionis continue, n — 1, n — 2,, »—3, » — 4, &c. 
hoc eft, divide unitatem per » — 1, & Quotum prodeuntem pern— .2, 
& noviflimum Quotum per »—-3, & fic porro. Tum Quotosomnes 
fic prodeuntes diTpone regulariter in Tabula ut vides, rejeclis Dignita- 
tibus ipfius n, & retentis folummodo Cc<fEcientibus, utpote qui foli 

huic negotio funt utilesj atque habebis 

..... . ... . ■ ■ . 

Tahihm 



V 



8 



INTRODUCTIO. 



Tabulam priorem* 



Q 



»5 



*5 



10 



3* 



90 



65 



&3 



301 



35° 



140 



21 



127 



966 



1701 



1050 



266 



28 



255 



3° 2 5 



7770 



6951 



2646 



461 



36 



&c. 



&c. 



&c. 



&c. 



&c. 



&c. 



&c. 



&c. 



&c. 



&c. 



Aflume jam pro Coefficientibus, numeros in columnis defcendentir 
bus, & habebis vaJores Dignitatum fequcnte*. 
z =2, 

2'=2+2t . r_7, 

= 2 -f- 3Z.t — i-}-2.i — i . t—i, 
2* = 2-J-72.r — i-^-Z.* — t . * — l-f 2.X — I • * — % . i — J» 

2 r =2-}-i 5.2.j_*i -j-25 z.*_7.i_T-{-i o2.*^i .£^i .*^3-}-2.«ir^ii.zrj .r+74, &c 

Hac itaque Tabula femel habita, quantitas quarlibet reducitur ad 
formam quxfitam abfque taedio computi. Proponatur ea haftenus re- 
dufta 2 4 -|"2 2 , _- 11 2» — i2z. Excerpe valores Dignitatum exTa» 
bula, «ofque ducito refpedive in fuos Coefficientes — 12, — 11, + 2, 
& 1, atque obunebis 

—.122 =—.122, 

— 1 12'= — 1 12 — 1 iz.rr^» 

-|- 22» = 4. 22-f 6z.£_74-2z.I_ 7.Z-7, 

•+■ 24 =-f- z-f-7^r_ T-f-^z-t-T.I— I-j-z^— 7.Z_TT.r^, 



Z«-+2Z»-I I2«-1 22 = — 202+ 22.£_7-+ 8z.i_7.Z_I-+Z.Z_7.^-I.7~7. 

Et valores membrorum in unam fummam collecti dant valorem to- 
tius ut jam prodiit. Notandum Seriem infinitam conflatam ex Digni- 

tatibus 



■ 



Digitized by Google 



INTEODUCTIO. 9 

tatibus Indeterminatse afcendentibus reduci non pofle genenUiter in ali- 
am praedicla: fdrmae: nam quifque Coefficiens efret Series fafinita, In 
Seriebus autem finitis, res fuccedit ut fupra oftenfum cft. 

Series etiam alterius form* fimiliter reducuntur. Fingamus enitn 
efle quantitatem quamvis quxfitam 
T A B C p 

2 ~> 2.2+1 '2. Z-f I .Z + 2T~Z.Z + I .2-|-2.2 + 3 ' 

Dein fi occafio poftulet inquirere valorem ipfius Tfuccefilvum, fcribe 
2+ i pro 2, & emergct vafor fucceffiviu 

T A B C D 

— Z+ 1 * r 2+i.z+2.z+3~r z-fi. 2+2.2+3.2+4 + 

&c, 

Et ut haec Serics reducatur ad formam prioris, operor ad modum 
fequentem, 
A _A _A 

*+7 — 2 — 2.2-fl* 

i , i 

B B 2B 

Z+I.Z+Z • • . • - • 2^f 1—2724-1.2-^2» 

C _ # # C aC 

2+1.2+2.2^*3 ' ' ~ ' ' • • 2.2+1 .Z+2"~Z.Z+1 .Z+2.Z+3 , 

D # # # D , 

z + 1 . z + 2A + 3 . a + 4 - 2.2-f I.2-f2.2-f:3+ 

&C^ 



_ , , A B — A C— 2B , D — 3C 

Et habeoT = +2^2^ + 2.24-1.24-2.24-3 + &c - 

Ubi nunc Denominatores iidem funt atque in valore ipfius T i eaque 
de caufa, inftituere licet comparationem Terminorurri prout occa- 
fio poftulac Hujufmodl auiem Oponuione* fi c deinonftrantur. Ponc 

— t— == ~ — r~r~iT7» exiftentc a quantitate ftatim invenienda; tum 

ducendo in Denominatorem z.x+i, proveniet 2 = 2+ 1 — a% fi^e 
delendo utrobique 2, 0= 1 — a, & a = 1 quare fubftituendo unitatem 

prO habebitur ^ = j - ~p Similiter fingo = 
T-p— z z +* 2+2 ' &duccn<Join Dcnominatorem, erit2=2+ 

D 



,0 INTR0DUCTI0. 

2-a, five a F 2, atque cxinde ^,,^ = ~~~ - 

Proponaturjam 

A B C D , , 

Z~~Z ■Tz+2.2-|-3"T"z-l-2.24-3.24-4"T"24-2.34-3.Z+4.2-f-5 T 

quam reducere oportet in aliam debttas formx. Inftituatur opcratio 
ut mox oftenfum, & invenies 

*+l — *"* *.<+! *.*-+•! •*+*' 

B _ , _B 4B <A 

■1.1+1 '*• 



*-t-i.*-+3 » ' <.*+i *-t-i-*-f-j ' 

C _ , . C _ 6C 

£f""*""""7""f4 — *.*+-! *+3 *.*+i,*4a.*-+.3"< C ' 

- 2 = . . . . . ..... , p &C. 

Atque Series propofita, fub debita forma invenietur 
A , B — 2A C — 4 B-f aA D — 6C4-6B 
^ + zT£^-Tz.z-|-i.z-|-2+z.2-|-i. V-|- 2 .2 T 3 + &C ' 
Er hunc in modum inftituetur redu&io in aliis cafibus. Si frattio 

reducenda fit ^p-^, erunt duo membra in ejufdem valore, utinEx- 
emplo fuperiore. Si fit ^p 2 i enmt rria, ut in Excmplo pofteriore. 

Et in genere in valore ipfius ~]^~ n *d debitam formam redu&i, nu- 

merus membrorum excedet numerum « unitate. Hic tamcn fuppono 
» eflfe integrum & affirmativum j nam fi fit fra&us vel ncgativus, va- 

lor fraftionis _ 1 excurret in infinitum. 
z-f- » 

Regula autcm generalis pro hujufmodi tranfmutationibus ea eft qua: 
fequitur. ■ Duc Tcrminos hu|us Progreflionis », 1 -\-n, 2 -j-», 3 -f-», &c. 
in fe continuo, & Facladifponantur inTabuIa fequente proratione Dig- 
nitatum numcri », CoerBcientibus tantum refervatis, & emcrgct 

Tabuk 



Digitized by Google 



INTRODUCTia 

m * 

Tabula poflerior. 



II 



t 
I 


I 








. 








2 


3 














» 


6 


11 


6 


1 ' 












24 


50 


35 


10 


1 










120 


»74 


225 


85 


l 5 


1 








720 


1764 


1624 


735 


»75 


21 


I 






5040 


12068 


13132 


6769 


1960 


322 


28 


I 




40320 


109584 


105056 


67284 


22449 


4536 


546 


3 6 




&c. 


&c. 


&c. 


&c. 


&c. 


&C. 


&c. 


&c. 


&c. 



Deinde fumendo Coeffictentes ex columnis dcfcendentibus, obtin» 
bis valorcs Dignitatum, 

1 \ . 1 . 1 . * • 

« i *~**+l"^*^-t-i-v-l-» + **-f 1 t+i*+3 "*"*•*+! *-t-3.*-t>4 + ^ 0, 
I 1 1 , u 

~** + i.*+»"*"*-*-t-i^-fi.*-t-3 +*.*-4- i.* + x*-fjJC+4 + * c ' 

1 l , . 6 , 35 , rif , 

T* =*.*+i*+».*+3 18 1 + i^+*+ 4 .*4-s+*-4-4*-+s*-4-6 + * C ' 

Et ita porro in reliquis. Adeout habita Serie ex dignitatibus com- 
pofita, ea femper reduci poffit in aliam formae defidcratac, ope hujus 
Tabulae. 

A B C E 

Vel propofita SeHe — +— -f — + & c . fume Cocffici- 

entes ex columnis tranfverfis, & ponantur 

« = A, 

b = A + B, 

f=2A+ 3 B4-C, 

</ = 6A-4-iiB-f6C+D, 

t = 24 A-f 1 50 B4-35 C-f- 10 D-|-E, 

/=i2oA-f 2748.^225 C+85D + 15 E+F, 

Atque 



i2 INTRODUGTIO. 

Atque Serics ex Dignitatibus compofita tranfrautabitur in fequentem 
debitJe formse 

r7^+*.*- r «*-r" + **+ , *+ lx +* "*"**+ «*+**+3*+4 T 
Proponatur nunc Fra&io ^f^» primum ope Divifionis rcfolvo 

I « »* »' - » 4 

eam in Seriem vulgarem £7 — — t +^ — z 7 — &c unde elt 

A= 1, B = _», C=4-»\ D=_«\ E=+»\ &c. &hifceva- 
loribus fubftitutis, emergent a = 1 , £=1— .», t=2— 3»-f-»*, ^= 
6— .n »+6»»— .»*, &c. atque adeo. 

7 1 . 1— * . _ ■ nw+6»'-» 1 . ^ 

** T »* ~ £"Z+~7 +*.*+T[i+~i "»"**+ 1 .«Hr»*+3 "'"*•*+■ .«+i*+3-*+4 ~ 

Ubi quantitates A, B, C, D, &c. jam defignant Terminos hujus Seriei 
more Newtoniano. Et pacet Seriem abrumpere quotiefcunque eft « 
incegcr & affirmativus. In aliis Exemplis denotet etiam z mini- 
mum Faetorem in Denominatore, & Series femper abrumpet hac me- 

thodo ubi ejus natura tulerit. Ut fi Fractio Gt Y Y j.y TTi» P ono 

2 = x — 3, minimo ucique triura Faclorum ; ' tum erit x=z4~3, & 

x-J-2 = z-|-5: Atque cvadet Fractio ^4^ 3.2 4.5 » ** vc mQ l«pl»ca- 

onc fa£ta » z «4.8z»4-i S z » 3 U * di vidcndo fic r» - h + ? - v + 

ilii_Z±4! + 3Z^2_. &c> Undccft A=c , B =r, C=-8, 

D=4-49, E = — 372,^=4-144', G=_ 7448, &c. Et exinde 
prodcunc 0=0, b=i, e=si— 5, </=i2, * = — 12; at / & reliqua 
funt nihil : & pcr confequens abrumpit Series, exiftentc accurate 

*.*+3-*+~s ""**+•■*+* m , "~*-t-3~'"' fc -f 3*-r4 *-t-3.*-r-4*+s" 
In fra&ione quavis g .z-^b.zA-c & c fit 2 m '°^ mus Factorum, 

adeo, ut a, b, c, &c. fint affiTmatrvi; & fi fmt quoque integri, Series 
terminabitur, altas excurret in infinitum. Ubi vcro Series abrumpit, 
eadem inveniri poteft plurimis modis klquc elegantius quam per regu- 
Utn fuperiorem generaJem: quippc a concinmute alieniffimum eft, 

primo 



Digitized by Google 



JNTRODUCTIO. 13 

primo reducere Fra&ionem finitam in Seriem infinitam, ut poftea ejus 
valor habeatur in Terminis numero finitis : quod nos hic fecimus ut re- 
gula generalis illuftraretur, non ut doceretur optima methodus quando 
Serics abrumpit. 

Si in TabuJa priore cxcerpantur numeri ex columnis afccndentibus, 
& ponantur 

'a=A, 
b = B — A, 
c = C — 3B-}- A, 
d = D__6C-f 7 B_A, 
, = E_ioD-|-2 5 C_i 5 B-|-A, 
/=F_i 5 E + 6 5 D — 9 oC4-3iB_A, 
&c. 

TumScricihujg»^ &c . 

a b c d 
migrabit in hanc —■ + - +^ + £7 + &c. qua: ex Dignitatibus 

componitur. 

In hifce Tranfmutationibus nullam habuimus rationem Tcrmini — , 

z 

quoniam is abfquc ulla Tranfmutatione ambigue pertinet tam ad Seri- 
em Dignitatum quam ad eam Faclorum. 




E PARS 



I 



Digitized by Google 



P A R S P R I M A. 

D E 

Siimmatione Serierum. 




N hac partc prima conacus fum abbreviare compucosin 
Quadr.mira Curvarum, & in l'robkm.uibus ctiam diffici- 
lioribus, idque pervcnitndo ad valores Serierum infi- 
nicarum magis expediti quam per fimplicem additioncm 
Tcrminorum ut vulgo fit. hixc quidcm in cico con- 
vcrgentibus abunde rcm ronficit, nrque ulteriore opus 
elt artificio: accamcn ubi lenrc convergunt immenfus plerumque labor 
requiritur, & eo quidcm m^jor quo minor eft convcrgentia ; quod 
fi lenciflime approximent, cvadunc ptnitus intraclabiles. F.tenim no- 
tiujmum eft nonnunquam opus elTc ultra miiJc numero Tcrminos, 
ut fumma habeatur jufta ad duas trefve figuras. Monflrabimus ergo in 
fequentibus methodum expeditam tranfmutandi eas offlnium lentiflime 
convergentcs in alias celeirime approximantes ; ex q libus fcilicec fum- 
mx fupputari queunc minimo Libore ad piurima figurarum loca. 

Abrumpenc qaidem Serics tr.mfmutata; ubi fummanda; funt fumma- 
biles-, eoque in calu trmfmutacio evadet fummacio. Scd de Scriebus 
fummabilibus minus follicitus fum eafque obiccr cantum attingo, ut- 
pote qu« in Quadraturis raro prodire folenc. Hic enim non operam 
collocavi in crucndis Scricbus inucilibus qux pcr obvia Theoremaca 

funt 



1 6 Summatio Serierum. 

funt fummabiles, fcd in eruendis Thcorcmatibus per quae Series utilei 
requirunt. P0 fumnuri ad toc fi S urar "m loca quot ufus quicunquc 

De Sertebm fimpltciortbm. 

Non tanturti Serici convergentia fcd & fimplicitas plurimum confert 
ad contrahendos calculos. Quapropter priufquam ad Tranfmurationcs 
accedamus, rcicndum eft Scrics Ncwiomanai in Tradatu de Quadratu- 
ra Curvarum, non folum abrumpere ubi rei natura tulerir, fed & efie 
ommum fimpltciffimas, ubi excurrunt in infinitum, atque eapropter 
pnefercndas cfle iis qiue inveniuntur methodo vulgari, fcilicet redu- 
cendo Ordinatas m Scncs convcrgcntes, ut cxinde computentur Arcs. 

Sit A »-i x <--f-/x« l Ordinata Curvse, in qua x eft Abfciflk, e & 
/ Coefficicntcs, atque 4 — i, * — i» & < indiccs Dignitatum : pone 
r = ^b, s = , & j"«a Ncwtonum Area eric 

*' — i s* '.A' H-' R A' dtlrf** : +3rJ*' 0 

j-xT^p -7A-r-r+ I B T--r^pi c T -r+f-, — &c - 

Ubi A, B, C, D, &c. defignant Tcrminos, quemquc in fuo ordine ab 
initioifciliceteftA^^X^FT^ > B — > c = — ;rp; B ^, 

& fic dcinceps. Proponatur jam inventio Arcus cx dato Sinu rc&o *, 

vel quod pcrindc eft, Quadratura Curvse cujus Ordinata cft 1 ^ : 

Vl — xx 

hsc ad debitam formam redufta fit jf'x' — **' r ' quas comparata 
CJm Ordinata generali dat (—\,f— — i, »j = 2, 8 — i=o, k — t =— . i; 
adcoque 6=i, *=■-: ct cxindc r=^, *=i ; quibus valoribus in 
Theoremace fubftitutis, oritur pro Arcu Series 

W~-f| Ax' +? Bx* -KC*« Dx» + f r Ex' + &c. 
At fi Ordinata propofita prius refolvatur in Seriem pcr Theorcma 
toni pro cvolvcndo Binomio, dein capiatur Fluens cujufque Termini, 
prodibit pro eodem Arcu Serics 

^2X3 ~4X5 ~6X7 ~&X9 ~'iuxu , r 

Unde patet priorcm longc fimpliciorem efle & proindc facilius cominuari 
in infinitum. Exempli gratia, fi Arcus quxfitus fit oftava pirs totius 

Circum- 



Digitized by Google 



Summdtid Serierum. 1 7 

Circumferentiae, ejus Sinus x erit aequalis \/J, quo fubftituto, evadet 
Scries 

Prior f-f I A4-iB+JC+*D + T vE-f-&c. 

Pofterior Vi + A A + 4 V B +4.5 C + T y, D -{- S V. E+ &c. 

Quo in cafu prior duplici de ciufa eft pracferenda, tum quoniam per 
Fa&ores fimpliclores producitur, tum quia libcra eft a numero furdo 
qui reperitur in pofteriore. Attamcn ubi x eft quantitas rationalis, & 
fimul x*Jx—xx irrationalis, Scrics pofterior eligenda eft, modo fic x 
magnicudinis ufque adeo contemnendx quse efficiat Seriem celerrime 
convcrgentem ■, hac enim racione evitacur extra&io Radicis quadraca*. 
Infuper fi fic x = i, necefle hab cmus recurrcre ad fccundam, quoniarn 
in illo cafu evanefcit quantitas Vi — **, in quam prima mukiplicatur. 

De Seriebus qtue celerius convergunt. 

Ubi quantitas indeterminata, crefccnte ei quse defideratur, cito 
evadit praegrandis, & tandem infinite magna ; Termini Seriei ex illa 
compofitae erunt alternatim negativi & affirmativi, & approximabunt 
lcntius quam ubi indeterminata ultra datam raagnitudinem crefcere ne- 
quit. Ut fi qujeratur Area veJ Arcus circularis, melius eft adhibere Si- 
num reftum qui ncquit efle major Radio, quam Tangcntera quse cito 
excrefcit in immenfam Iongitudinem ; ut olim obfervavit Newtonus. Et 
e contra praeferends funt Tangentes in Hyperbola, utpote quaj da- 
tam Tnagnitudinem fuperare nequeunt, fed continentur intra determi- 
natos limites, eofque latis arftos. Sed quae hic diximus, non impedi- 
unt quo minus Area vel Arcus, magnitudinis mediocris vel contem- 
nendse, pofilt exquiri prout cuique vifum fuerit : nam diffcrentia tan- 
tum eft notabilis in iis cafibus in quibus quantitates quzfitx funt ma- 
gnx. Atque Series quarum Termini funt per vices ftegativi & affirma- 
tivi funt magis tradtabiles quam alterse, ubi de Summatione agitur. 
Quae autem hic didta funt dc Curvis binomialibus, obtinent quoque in 
iis fuperiorum nominum. 

Verum quidem eft Series celeriter convergentes multifariam inveniri 
pofle, adhibita Methodo differentiali Nnvtoniana. Sed quo magis con- 
vergunt eo magtsfolent efle compofitx: quaproptcr prafero fimplicio- 
res etiamfi lentius convergentcs. 

F ' 2> 



1 8 Summatio Scrierum. 

De Summh fuccejfivh. 

Pcr Summam fucccffivam intelligoquanticacem quas fuccedit Summx 
omnium Tcrminorum, quando Termini fubfequentes deveniunc in loca 
antccedentium. Ut fi Summa fit T+T'+T"+ r"+T"+T* + &c. 
fcribe Terminos pofteriorcs pro prioribus, & habebislSummam fuccef- 
fivam T'4-T"-f T^ + T 1 » T» &c. in qua denuo fi fubftituantur Ter- 
mini confequcntes pro anreccdentibus, provenier Summa T"+T*" + 
T lr +T*+T Ti + &c. qu«fuccedicnoviflimae; & fic deinceps. 

Hinc fi S, S', S", S w , &c. dcnotcnt Summas fucccflivas, erunt 

S = T + T'+T" + r*' + T i *+&c. 
S' = - - T'+T" + T'* + T" + &c. 

S J = T"+T w +T'* + &c. 

S*_ : T~+T ir + &c. 

Hoc eft, fi a Serie quavis infinita fubducatur primus Terminus, & 
a refidua fubducatur etiam primus Terminus, dein ab ea quse rclinqui- 
tur rurfus fubducatur primus Terminus, & fic ad libitum ; Series hoc 
modogradatim mul&atae primis Tcrminis, erunc Summae fuccefiwxi 
hoc eft, 

S' = S — T, S"=S' — T', S"'= S" — T", &c. 
VelS' =S_T, 

S" =S — T — T', 

S"'=S_T_T'_T", 

S iv = S — T — T' — T " = T", 
&c. 

Hic Iocuci fumu%de Summis Terminorum omnium in infinicum, quae 
incipiunc ad datum qucmvis Tcrminum •, nam quicunque Terminus fic 
T, S eric Sumnu ejus & omnium fequcntium, item S' erit Summa ip- 
fius T' & omnium reliquorum. Haec quidem obtincnc ubi agitur de 
Summa Terminorum numero infinitorum : Attamen ubi agitur de Sum- 
ma Terminorum quorum numerus eft finicus, S eric Summa Termino- 
rum omnium abinitio ad datum qucmvis Tcrminum T, & S' crit Sum- 
ma eorundem Tcrminorum dcmpto T, atque S" erit Summa eorun- 
dem dcmptis duobus T, T', & fic in reliquis. 

Hinc in Summatione Terminorum a dato quovis Termino ad infi- 
nitum, fi z fic longicudo Abfcifix quat correlpondit SummasS; tum 
z+i, 2+2, z+3, &c. erunc longicudines ejufdem refpeclive cor- 
relpondenccs Summis fuccclfivis S', S", S", &c. Ec e concra in Sum- 

matione 



t)igitized by Google 



Summatio Serierum. 1 9 

matione Terminorum a dato quovis ufque ad initium Seriei, longitu- 
dines 2— .1, z— 2, 2—3, &c. refpondebunt Summis S', S", S w , &c. 
dummodo ipG S refpondeat Abfcifla 2. Nam in primo cafu diftantia: 
Summarum ab initio perpetuo increfcunt incrcmento Abfcifiic, decrcf- 
cuntque eodem decremento in pofteriore. 

Sit S S' Curva quaevis cujus Afymptotos eft a b, eique parallela Ab- 
fcifla AB. Divtdatur Abfcifla in partes innumerasinter fe sequales AB, 
BC, CD, &c. Et a pun&is divifionum A, B, C, D, &c. erigantur per- 
pendicula ad Afymptoton, decufiantia Curvam in punftis S, S', S", &c. 
Afymptoton vero in o, b, c, &c. A punftis S', S", S", &c. ad Ordi« 



b e d e f g b k l 




natas proxime antecedentes ducantur S«, S*/3, S m y, S'V, &c. paral. 
lela; Abfciflae i adeo ut Sa, S% S"y, S m i, &c. fint difFerentise Ordina- 
tarum tam earum qiuc cxtcnduntur a Curva ad Afymptoton, quam illa- 
rum qux a Curva ad Abfciflam porriguntur. Igitur Ordinatz inter- 
ceptse inter Curvam & Afymptoton exponent Summas, & differen- 
tias pergendo ab iifdem in infinitum exponent Terminos. Hoc eft, fi 
e S' T dcfignet Summam, fucccdentes erunt /S w , g S vi , bS vii , &c. qua» 
rum diffcrentia; « S iv , fS T , nS ri , &c. in infinitum funt Termini quo- 
rum Summa eft e S lv . Et fimiliter fi ES' T , DS", CS", &c. defig- 
nent Summas fuccefilvas, quarum prima eft E S iT , differentiae ante- 
cedentes JS", yS", &c. exponent Terminos numcro finitos pergentes 
ab Ordinata ES ,T ufque ad initium Seriei. Summatio igitur Senerum 

rcdu- 



ao Stmmatio Serierutn. 

reducitur ad inventionem Ordinatarum ex datis earum Differentiis. 
Sed notandum oportere Summam ultimam efle nihil in utroque cafui 
quod femper fiet quando Curva rranfit per punftum A in Abfcifla, & 
fimul habet ab pro Afymptoto. Hsec cautio adhibenda eft ut Summse 
inveftigands per mcthodos tradendas, fint verse, corrc&ione minime 
mdigcntes, ut fxpifilme fit in quadratura Curvarum. 

Propositio L 

Si Termini a/icujus Seriei formentur fcribendo numeros 
J > 2 > 3».4> 5> ® c - P ro z > m Qyantitate A -f Bz -\- 
Cz.z^I + D z.z— i z— x 4-Ez.z— lz— z.z— 3 -\- &c. 
tum Summa Terminorum ab initio quorum numerm 
eft z, erit 

A2-{-£f7 in \ Bs-j-fC^ ZZr+iDz.in.^n-i-; E2.ir7.Z3I.Z3J4- & c . 

Ubi notandum eft quantitatem 2 + 1 duci in totam Seriem quae eam 
immediate fequitur. Propofitio autem fic dcmonftratur. Finge Sum- 
mam S=A2-|-r+7 in i B2-4-J-C2. Z_l-{-^ D 2. Z_7.Z— 7 +&c. 
five S = Az+ i BI37.2+t c «^- 2 -*— "»+i D ~-\- + &c. 

Dcin fcribe valorcs variabilium fuccedentcs pro prefentibus i hoc eft, 
S — T pro Sj & 2— 1 pro 2; atque obtinebis S — T = Ax — 1 + 
i B2.7 - 7.+-f C2. t — i.*_i-f-4D2.*_T.ft— i.Z_7,+ &c. fubdu- 
cito nunc hanc JEquationem de priore, & manebit T=A + B2+ 
Cz.I_" 7+D2.£—7.*_7 + &c. Unde e contra fi detur hic valor 
Termini ut in Propofitione, Summa erit ea qus affignata cft. Infuper 
hscc Summa evadit nihil quando eft z nihil : adeoquc conftat Thcore- 
ma. Q^E. D. 

EXEMPLUM I. 

Detur Series numcrorum naturalium 1, 2, 3, 4, 5, 6, &c. hi for- 
mantur fcribendo 1, 2, 3, &c. pro 2, in ipfa quantitate 2, quam ita- 

2ue comparans cum Tcrmino in Thcoremate, crit A=o, B= 1, & 
', D, E, & fequentes nihil ; quibus valoribus fubftitutis prodit Sum« 

ma 1 »n y 2, fivc — ~ pro aggregato tot Terminorum Scriei 

propo- 

I 



Digitized by Google 



Summatio Serierum. 2 1 

propofitae quot funt unicaces in 2. Ut fi fit 2=6, provcniet — =^i 
pro Summa primorum fcx Terminorum. 

Exemplu M H 

Dctur jam Scrics numerorum imparium i, 3, 5, 7, 9, n, &c. hi for* 
mantur fcrifaendo 1, 2, 3, 4, &c. in Quantitate 22 — 1, ideft, — i-f-22, 
quae comparata cum valore Termini generali, dat A = — 1, B = 2, 
C, D, E, &c. nihil; quibus fcriptis in Summa, emergit — 2 -f- r^i 

in ~, vel 22 pro aggregaco tot Terminorum quot numerat 2. At- 

que ita quidem fe res habet in cafu praefente, nam Summae fuccefli- 
vae funt Quadrata numerorum naturalium. 

ExEMPLUM IIL 

Summanda fit Series Quadracorum 1, 4, 9., 16, 25, 36, 49, &c. quae 
formantur cxpreflione- 22. Per ea quae in Introduftione explicancur, 
quanticas 22 rcdu&a ad formam Thcoremacis, evadit z-^-z.Z^n 

adeoqueA = o, B=i, C=i, & inde fit Summa r+i + -» 

hoc eft ^iii^lii- 1 , Exempli caufa, fcribe 7 pro 2, & habcbis 

7 . 8 . 1 <? 

- ' 0 ■ = ^40» quod eft aggregatum fcptem Terminorum. 

EXEMPLUM IV. 

Proponantur nunc Quadrata numerorum imparium 1,9, 25, 49, 8r, 
121, 169, &c. eadem Tormantur fcribcndo 1, 2, 3, 4» &c- Aicccflivcin 
exprefiione 1-L-42Z — 42, quas fic fcripta 1 4-42. «,— t, dat A = i, 
B=o, C = 4, D, E, &c nihil: & huce fubftitutis, prodit Summa 

. 4Z>_2 

2-j-*-t-« in|2.*— 1, five — - — . 

EXEMPLUM V. 

Si dcntur Cubi 1, 8, 27, 64, 125, zi6, &c. quos aflignat 2 J , rc- 
ducatur z* ad debitam formam 2 +3 2.*— 1 -|- 2. «. — 1.«. — 1; eritquc 
A = o, B=i, C=3, D = i, reliquxmie erunt nihil ; & propterea 



2 2 Summatio Serierum. 

eft Sumtm *~ 1 in -iz+z.^7+iz.*~.*T I, quas concinnata 

evadit — xz+> A '. Et hinc conftat Summas horum Cuborum effe 
4 

Quadrata numerorum i, 3, 6, 10, 15, &c. (ctlicet Triangularium. 

SCHOLION. 

Hujufmodi Series facilius fummantur per Terminorum DifFerentias : 
defignent enim A, A2, A3, &c. Seriem fum- 
mandam ; collige Terminorum differentias pri- A A2 A3 A4. A5 
mas B, B2, B3, &c. fecundas C, C2, C3, &c. B B2 Bj B4 
tcrtias D, D2, &c. & fic porro ufque dum perven- C C2 C3 

tum fucrit ad ultimam qua: hic cft E: & Sum- D D2 

ma Terminorum cujus numerus eft z, erit E 
. z , „z z — 1 . z z — 1 z — 2 , ^z z— 1 z— a z — ? . 

7+ B T x— + C T x— x— +D T x— x— x— '+ 

&c. 

Sed notandum eft quod differentiae fumi debeant auferendo priores de 
pofterioribus, hoc eft, ponendo B=A2 — A, B2 = A3 — A2, &c. 
tum C = B2 — B, &c. Hujusautem demonftratio pcndet ex mcthodo 
differentiali NeutomanA. 

Proponantur Series 1, — 1, o, 8, 
27, 61, 114, 119, &c. & collcctis dif- 1, — 1,0, 8, 27, 61, 114, 190, 
fercntiis ad modum fupra expofitum, — 2, 1, 8, 19, 34, 53, 76, 
invenietur A=i, B = — 2, C=3, 3,7, 11, 15, 19, 23, 

D = 4, reliqua: autem nihil funt, ade- 4, 4, 4, 4, 4, 

oquc cvadit fumma 

& z z — 1 z z — i z — 1 2 z — 1 7 — 3 

7-:x T x — +3x T x— x— + 4 x 7 x— x— X — • 

quae in ordincm redadta fit ^ ' . Serics autem forma- 

tur fcribcndo o, 1, 2, 3, 4, &c. in quantitate 42 "^^7' z ^~ 6 . 



P R o P 0- 



Digitized by Google 



Summatlo Serierum. 2 3 



Propositio II. 

«57 Termirit cujufcunque Seriei formentur fcribendo nnme~ 
ros quofvis urittate dijferentes in Ghtantttate 
A B C p 

Z.Z-f-I ' 2.2-j-l.S-|-2"T"2.2-J-l.2-J-2.24-3 T" 2.2-}-l .2-|-2.2+J.Z-}-4 "T 

Gfr. Summa omritum Terminorum tn infinitnm f incipi- 

ens ad datum quemlibet Terminum ertt 

A B C D 

2 2Z.Z-|- I "*32.Z-^-I.z4-2 ' 42,2-|-I .Z + 2.2-J-3 "•" 

Pone Summam S = 

A B C D 

2*"" 22. Z-j-I^T^i.^-j-l . 2-}- 2 "1~ 4 2.24-I .Z+2.2-J-3 T~ «^* 

Tum fcribe valores ipforum S & z, confcquentes pro antecedentibus, 
hoc eft S— T pro S, & z-f i pro z, quoniam jam agitur de Termi- 

A B * 

nis numero infinitis : & proveniet S— T= _|_ 

3 .2-t-,.z+2^+ 3 + 4.z+..^.z+3.H-4 + &C * Ha!C fuD " 
duclade fuperiore, relinquit T= —j^ + z 2+ ° g+2 4. 
C D 

zTT+i.z-FI^FJ + z.z+x.z+^fJX-H + &c * Undc 6 

contra fi dctur hic Terminus, Summa crit ea quae in Propofitione affig- 
natur. E. D. 

CoreUarium i. Si Tcrminus fit z ^4.^4.3 „.^ &c , rcjice ul- 

timum Fadtorem, dein divide reOduum per numerum Fa&orum qui re- 

linquuntur, atque habebis Summam Terminorum. Sit Tcrminus — j 

z - z ~T l 

rejice ultimum Faftorem z-f-i, & manebit — ; quutnque unicus fit Fa- 
. A „ 

fior rcfiduus z, ent — • Summa omnium Terminorum. 

- + ■ Sit 



2 4 Summatio Serierum. 

Sit jam Tcrminus conftans cx tribus Factoribus 2 2 ;_ |__. rcjicc ul- 

B 

timum Fa&orem z-}-2, &reftabit . quae divifa per 2, numerum 

utique Facloruin qui rclinquuntur, exhibet ^z.z-^-i P r0 ^ umma - 

C 

Similitcr G ex Termino 2 2 z _|_ 3 « quatuorFaftoribuscon- 

flato, rejiciatur ultimus 2+3, & refiduum dividatur per 3, obtine- 

birur Summa 3 z.z4-,.2+2 - 

Si Terminus flt — , rejice Faclorem z, & quoniam nullus rcflrat, di- 

vide A pcr Nihil, & habebis pro Summa Quantitatem inflnite mag- 
nam, uti notum cft. Et hac de re primus quod fciam egit D. 7ayhr 
in Methodo Incrementorum. Eadem etiam fufius & elegantifilme tra- 
ditur a D. Nicol in Actis Academix Reg'ue Parifienfis. 

CoroUarium 2. Per ea quae hac fuper materia habentur in Introdu- 

y_ 

clione, conftat Terminum quempiam z .z-\-a.z-\ -T7z^ -c &c. rcfoI " 

vi' femper poflfe in Tcrminos duos forte aut plures fummabiles & nume- 
ro finitos, quando a, c % &c. funt numen integri * in illo igitur cafu 

Scrics fummabitur. Ut fi Terminus fit _T_rpj> l< *em refolvitur in trcs 

Terminos fummabiles ;^- ^ + '__ + _ + z .zJ\-uzXi^ Un " 

11 2 
de per Corollarium prjecedens, erit Summa — — _rj_pj -f- 3 _; 2+l 2+ _ » 

_quas fimul junfla funt 3 ^_j^ 2 l +oz - Et fimiliter fi Tcrminus fit hu- 

jus forma; 2L J_j_ _ 2 + ^_ + f . 2 .}-_•. &c. Scrics fummabl ' tur > dummo- 

do 0, c, d % &c. fint integri, & numcrus Fa&orum in Denominatorc, 
ad minimum binario excedat altifiimum ipflus z dimenflonem in Nu- 
meratorc. Scd excipio cafus in quibus duo aut plures Fa&ores in 
Dcnominatore fitji inviccm sequanturj in ilUs Scrics. non funt fumma- 
biles. 

EXEMPLVM 



Digitized by Google 



Summatio Serierum. _> $ 

EXEMPLUM I. 

Proponatur Series fummanda t~~~z + T~~~r n + r~7~ — + 
~ 1.4.7 4-7- , o • 7.10.13" 

T o. 13. 16 + 13. 16. 19 + &c * Tertnini hu J us Serici affignantur quanti- 
UtC 32.32+3.3H- 6 ' uti P atebit fcribcndo F° ~ fucceffive T , i T , 

*h 3i» & c - id «*» hac 2 7 . 2 . z -fi.2+2 ; undc fit Sumraa ^^+7- 

Nam in eadem fcribendo pro 2 valorem fuum primum T , prodibit t ' w 
pro Summa totius Seriei. Si fcribaturpro 2 valor fuus fecundus t T , pro- 
dibit xrr P r0 Summa totius Seriei dempto primo Termino. Si pro 2 
fcribatur valor fuus terrius 2 T , prodibit pro Summa totius S«- 
rici demptis primis duobus Terminis. Et fic in infinitum. 

BXEMPLUM & 

Proponatur Scries 77;+^ + + ^ + 5 | 8 + &c Termi- 
ni hujus affignantur quantitate £J3^, in qua oportet fcribi i, 2, 3, 
4, &c. fucceffive pro 2. Quantitas autem Zi J|_^ reducitur intresTer- 
minos fummabiles-nempe ^Jfl^ z ^ + ]^ 2 + ^J^ 2 >z _|_ 3 » 

Unde erit Summa --^^4- , five 3Z , 2 _|_ I>a _)_ 2 . 

lam fi vis aggregatum omnium omnino Terminorum, fubftitue in Sum- 

. ,. 3+6 + 2 

ma unitatem pro 2, & obtinebis »d eft if pro valore Se- 

riei propofitje. 

ExEMPLU M IH 

1 6 
Detur jam Serics 1^^+3.4.5.6+4.5.6.7+5.6.7.8 + 

— i£ J- &c. ubiNuracratoresfuntQuadratanumerorumnaturalium •, 

H Terminus 



26 Simmatio 

Tcrminus quilibet in gene* aflignabkur. exprcffione _-_:+, 2 _pT_+r 3 » 
exiftentibus 2, 3, 4> 5, &c. valoribus indcterminatae fucccffivis. Et 
quantitas ilk refolvitur in tres Terminos fummabiles fciiicet ■ — \ — 

+ 2.2+ I .,+2._+ 3 : & inde Suroma + 

l6 62' ^2+2 . . 

3 2.2+I.2+_> h ° C Clt 6.Z.S+I.2+2» 10 1 U * fi f "bftiCUaS 2 P«> 2, 

babebis ,* T pro valore Serici. ~ 

EXEMPLUM IV. 

Quscratur valor Seriei - — J ^Z-; r — ► _ 343 - 

1.2.3.4,5-^2.3.4.5,6^3.4.5.6.7 ^4^67! » 

&c. ubi Numeratores funt Cubi numerorum imparium r, 3, 5, 7, & c . 
Pofias jam 1, 2, 3, 4, 5, & c . -valoribu» ipfius 2 fucceffivis, Termini 

affignabuntur per expreffionem ^i+^+^j^I+V "foJvitur 

in !_ __ 84 , 386 

2-2+1 2.2 + 1 .2+2 +2.2+1 .2 + 2.2 + 3 

7 2 9 8 Rj 

^+,.2+T^+lX+- 4 - ^ eft Sum ~ 2.- iT^fTi + 
729 u,,.n. 9^»+ 7 22'+8o2 ^ 2 . 

32.2+1.2+2 42.2+, . 2+2.2+3« ^ 1 2Z.2+ 1 . 2-^ 2+^ * » 

£ Py™™™^*" ipfiusz, id cft, unitatcm pro 2» inve- 

nies |ff eflc valorera Senei. r 

Eiemuum V. 

Proponatur Series - — I- - — 1 — i— _i _i i . . 

* 1.2 ^3 4^5.6 + 7 .8 + 9T7o + &c - ^ 0 *" 

ven.t V.cecomes pro Quadratura Hyperbol^ ; Tcrminusqui- 

vis in gcnerc affignatur per expreffionem u bi valores ipfius z 

lem Ivadtc *" 3 " &C * Et qU3ntitas redufta ad formam fummabi- 

. • * 

42.2+1 



Digitized by Google 



Summttio Ssrwruik* 27 

JExcurrit quippc in Scriero infinitam propterea quod dilferentia Facto- 
rum eft numerus fra„us in exprcfilonc affignante Terminos j hoc uti- 
que indicium eft Sericm non-efle fummabilcm. Regrediendo autcm a 
Termino ad Summam, habebitur 

1 ■ _ 1 1 '-3 1 '-3- 5 1 & . 

42"" l6 Z.Z-J-1 '482.2-J-l.24-2"» I28z.2-f-I .2-|-2.2-f3 ' 

Qax eft Series eo citius conVergens quo major eft Sed ob facili- 
orem computum pone A =~» 

A 3B _ /;C - 7P F _ _____ 

B = 2F-f2' C — 22+4' D — fcetfTfc» IHjls» r — 22-f- 10 » 

&c. atque erit Summa, A-f . B-ffC + i D-J-|E-f- &c. In qua fi 
pro 2 fubftituatur primu» ejus ralor J , habebitur valor totius Scriei 
fummand— : fi pro z fubftituatur ejus vaJor fecundus, proveniet Sum- 
ma omnium Tcrnrrinorum dempto primo •, fi pro z fubftituatur ejus 
valor tertius, provertict Summa omnium exceptis primjs duobus , & 
fic porro. Subftieuo igitur pro 2 valorem luum decimum quartum 
ut 2 fit fatis rmgna ad efficiendum Seriertl celeriter convergere} 
& habeo A = T ',, B=.' 7 A, C = TT B, V-ttC E-^D, F = 
V^E, &c quo m cafu Summa A-j-iB-f-f C-J-,D-f- &c. sequabl- 

^a7^+^T1o+3t73i + te - t0 " UliqUC Scrici fummand£C 
dcmpti* primis tredecim Terminis. Horum igitur Summam qu_- 
ro per aiditionem, invenioque fore .674285961. Dein ut obtineam 
Summam reliquorum, calculo eruo A, B, C, D, &c. ad tot decimalium 
loca quot eft animusj cofque invcntos divido refpedhve pcr 1, 2, 3, 4. 
5, &c. ut vides. 

" 

A = . 01 85 185 19 .018518519 

B = - 638570 3»9 z8 5 
C = - - 61797 20599 
D= - - - 9363 2341 



E= 187! 

F = - - - 455 

G= - - - 12» 18 

H= - - - - 41 5 

I = 14 ■ 

.018861219 



Eoque 



28 



Summatio Serierum. 



Eoquc pafto obtineo .018861219 pro Summa Terminorum omnium 
poft decimum tertium i hacc denique adjefta aggregato initialium pri- 
us invento, conficit .693147180 pro valorc Serici fummandae, id eft, 
pro Logarithmo Hyperbolico binarii. 

Quo plures Termini fub initio colliguritur, eo citius converget Series 
quaPdat Summam reliquorum, propter z tanto majorem. Atque hujus 
methodi praeftantia in eo maxime enitet quod addendo Terminos ag- 
gregato initialium, z tot unitatibus aogeatur, qua ratione Scries tranf- 
mutata ad libitum fere converget. 

Quod autem in praxi impoffibile fit aflequi Summas harum Serie- 
rum per meram colle&ionem Terminorum, patcbit ex computo fe- 
quente; ubi habetur Summa ccntum, mille, decies mille, oc fic por- 
ro ufque ad decies millies centena millia Terminorum. 



Surama 



100 - - - • 
1000 - - - 

IOO0O - - 

I 00000 — 
1000000 - 
1 0000000- - 
I 00000000 ■ 
j ooobooooo 



f.690653446 
1.692897242 
1 .693122181 

•693 »47 «55 
.693147178 

.693147180 



Ex hoc calculo conftat centum Terminos dare Summam accuratam ad 
duas figurasi & gradatim decuplum Tcrminorum numerum colligen- 
do, lucrari prseterpropter unam tantummodo figuram: adeo ut fi quis 
veller erucrc valorcm hujus Scriei accuratum ad novem figurarum lo- 
ca, nulla arte adhibita prxter additionem, requirerentur circiter decies 
millies centena millia Terminorum. Et haec Series convergit longe 
celerius quam aliae quamplurimae, quarum valores funt Quantitates 
finitsc 

ExiMPtBM VL 

Summanda fit Serics i4 r i+..£-f. T I . r 4- x , T 4 , 'Ti-+&c. u bi Denomi- 
natorcs funt Quadrata numerorum 1, 2, 3,4, &c. & Terminus in ge- 

nere eft — : hk redudtus in formam fummabjlem, evadit 

*.*4-i f *+t "*"**+! *+i*+J "T*jL+t .*+*.«+ j.«+4 + Kc " 
Ergo Summa = 

z" t "2.z.z+-i"r3z.z+.i.z+2"t"4Z.z+»i.z+.2.z-f-3 "T &c - 

Quae 



Digitized by Google 



Summatio Scricritm. 

Qj* ponen J» A = — , B = -^— , C = -p- , D = —f- , 

^n"' 

cvidit A-f-^B-f^C-f^ D-|-&c. Jnm fi 

pro = iub.ftitiuf.ur cjus valor deciinus rmius i ;;, lY.btbitur Sumrru 
ojjinium Tci minoiuii) in Stne lummand.i poil dcximum fccundum ; quo 

inofucrit A=y y R = -i A , Cs-B. D = ^C, E =*~ D, &c. 

J_> A-]--- B-J-ic+^D-f- &c. crit Sumnn Tcrminorum 
J_ , J_ i i 

iuj ' + ^ -]- 77^ H~ &c. Computus auccm fic fc habet 



A = 
B - 


.07692^077 


.076923077 


- ;-;-4".: 


2747.-52 


C = 
D — 


- - 7.,» 2601 


244 -00 


- • 1 4 ?..><"> .4 




I — 


- - - j-'.,'2i 


64O4 


J - 
G = 


fcy-H 


i 4y 6 


- - - 2X15 




H= 


- - - - 992 


J2 4 


I = 


^ 


4 2 


K=: 


- - - - 155 


|6 


L = 


■ - - - 07 


6 


M=r. 


V 




N = 


- - - - , 5 


1 



.070957427 

L'ndc prodir .0700 "7-J-' , -7 pro Snmim Tcrmmortim -L -L4. 

169 ' Kjb ' 

I 

~ -{-&c. quxadjecta aggregato duotkcim initialium, five 1 .564976638, 

conficic 1.644934065 pro valore rotius Seriei 1 -f- ~-f - J_ - 4. & c . 

4 9 i o 

Cnnvergit autem hxc Scrics mjnus ceJeriter ca Bmmhn in Excmplo 
pnore. 



3 o Summatio Serierum. 

Propositio III. 

Si Termini cujufvis Seriei formentur fcribendo numeros 
quofltbet tmitaie dtfferentes pro z in Quantitate 

a b c d 

erit Summa aqttalis x^" in 

a , l—Ax c — ^B y J — 3C.V 

l—X.Z ' 1— <Xr.2.2-J-I~>I \%2.2-|-I.2-J-: | A.2.2-f I .2-j-2.'C-f-J 

Quantitates A, B, C, D, &c. defignant Co*flicientcs Terminorum 
prxcedcntcs eos in quibus rcpcriuntur ; fcilicct cft A = ^ ^ 

B= 7—^» c= THv~' &c- & fic P° rro - Exc, P io autcm carum > R 

quo eft x sequalis unitati : ubi hoc accidir, Scrics fummabitur pcr Pro- 
pojitionem fupcriorem. Hem vcro dcmonilratioucm. Fingc Sum- 



t+» . A B C D 

s = x m - + z . + , + r-jp. 2+ - H--qrrr-f zqp" 3 + &c - 

deinde fcribe valorcs variab lium fuccedmtes S — T & z-\-i pro an- 
tccedentibus S & 2 refpcctivc, atquc habcbis 

S— T=x^"+' m 
A B C D , 

2-f-I *+I.2+- i "•" 2-j-l^+/.i-|-j ~> 2^-I.24-2.S-|-3-4-4 ' °' 
Hoc eft, S = X*+" in 

Ax Bx Cx D.v 

2 -f-i * z+i.z-j-l ' 2+7.2-f T2+3 "T 2-J-1.3-J-2.2-l-3.z-P4 + &c * 
que reda&a ad Formam ipfius S, cvadit 

S— T=x*+" i n 

Ax By— Ax Cx«— ?Bx Dy— .^Cr 

2 Z.2-}-I "T Z.S-J-I^-J-Z ' 2.2+1. 2-}-2.Z-f-3 

Subdu- 



Digitized by Google 



Summatw Sericrum. 3 1 

Subdiicito nunc valorcm ipfius S — T a valore ipfius S, & relinquc- 
tur Tcrminus 

T=**+"in 

A~* BTT+ A* C7~^+zBy , D~+3Cy 

T~ ' 2.2+1 T 2.2+7.2+1 T 2.Z+I.2+2.2+3 

Hic denique valor ipfius T collatus cum illo in Propofitione, dat 
A"i x = a, B 7_~x + A x =r b, C~~~ + 2B» =f, & ita porro. Qtiae 
/Equationes exhibent valores Cocfficicntium ut fupra. Quare valor 
Summse recte aflignatur. Q^E. D. 

EXEMPIOM I. 

III I 

Summanda fit Scrics i -{ — / + -/' + — /' — /* +&c. iEqua- 

3 5/9 

tio ad candem eft T = /*""•* in nam fcribendo -, i -, 2 -, 3 -, 

2 2 2 2 2 

&c. fucceffivc pro z, provenicnt Termini Seriei. Comparando autem 

hunc Terminum cum illo in Thcoreraate ; erit x = /,» = _-, <i=- 

1 2 

at b, c, d, e, & Coefficientes reliqux funt nihil. Et hifce demum va- 
loribus fcriptis, oritur 

S=/* _i in 

4 , A/ 2Bt 3B/ 

.2.2+ 1 T /_ , .2.2-1- 1.2+2 T/ —1 <2>2 _-_ , <2 + , , 3 «C. 

Ponamus Exempli gratia efie / = — . i ; & Serics fummanda crit 
1 — r+T — T+~" — &c - at q ue evadct Summa 
c_ l • 1 A 2B ?C . , 

10 4 -T _--+7T 2^2+1.2+2+ 22 .2+, . *+; .,-+_- + &c - 

. • 1 1 A , 2B , 3C , 4D , „ 

Vel S=± 1 m - +--— +^-- + -| F +-±--+ &c . 

Ubi A, B, C, D, &c. jam defignant totos Tcrminos more Newtomane, 
& non amplius Coefficiente-. Et unka« cum figno ambiguo in quam 

tota Scries multiplicatur, crit affirmativa ubi 2 — l - eft numerus par, 

& negativa ubi eft inrtpar. Collige jam duodecem Terminos initialcs, 

vel quod perinde eft, fex-in hac Scrie ~+-^ + -i-- + & c . 

• conjun&U 



32 Stonmatio Sericriwr. 

conjunclis binis quibufque in priore : eorumquc Summam repcriej 
.7646006915. Dein fcribe pro z ejus valorem decimumtcrtium iz~ t 
cV obtinebis 

5 = -+-A + -B + - C-)--D-f^ E-U&c. 

quaj eft Scries fimplex & celcriter convergens: dccem • 0200000 <x>o 

ctenim Termini dant S = .0207974719 ut ex computo 7 *° 7 t°l 

appofito liquet: & eadcm adjecla aggregato initialium, 5 ,ob 5° 

provenit .7853981634 pro valorc Seriei lummandx: ad 4943° 
quem tamen nunquam pervenire liceret per additionem 

Tcrminorum. Atque colligcndo plurcs initialcs, valor 5 

ipfius S longc celerius approximabir. Hujus itaque Pro- l W 

pofuionis ope, Circumferentia circuli produci poteft mi- 2 5 

nimo labore ad figuras quamplurimas , pcr Seriem 5 

hancce utcunquc lente convergentem j id quod olim mul- * 

lum dcfidcrabat Leibnitius. S = o2o~Q7_7io 

Perifcria circuli obtinebitur quoquc accuratiffime /9747 9 

per Seriem Nra-toui fcquentem 1 -4-~ — . - — .-J-I J,I _L 

^ 3 5 7 ^9^u~i3~" 

~ + &c. ubi Tcrmini quiquc bini funt altcrnatim negativi & affirma- 

tivi. Idem etiam efficitur per hancce 1 + — __ - — 1 1 1 1 

11 

7o" —77 + &c - - q u » Denomioatores conftituunt progrefiionem nu- 
merorum naturalium, dempto quoque terno. Prior a-quatur quartas 

6 pofterior tertia: totius circumferentia: parti, cx fuppofitionc q_6d 
horum Arcuum Chordae fint unitatcs. Priufquam tamcn tractcntur 
pcr hanc Propofitionem, difperticnda; func utrajque in duas i prior in 

1 , i_ j_ , i_ r 

1 — J +9 — 13 +7} — 7i + 

3 7"t"ii 15 • i9~"23 + &c - 

Fofterior in hafcc 1 — -4-— — — -4> — — -L. & c 

l_ __ ,j_ _i _i 1 

* 5 14"" T7 + &c " 

Dein 



Digitized by Google 



Summatio Serierum. 33 

Dein harum quatuor unaquaeque feorfim confideranda eft, & ope- 
ratio inftitucnda uc in Exemplo. fuperiore. 

EXEMPLUM IL 

SiSerie, fit £ +£+ ll+^ + ^l + &c . JEquatio crit 

T=x % in ^J^, , qua: refoluta in Seriem evadit 
T=*' in 

4*-z+i "^" 82.2+1 .2+2 + 1 62.2+1 .2+2.2+3 "^" 3 l **+ ' *+S^+3.«+4 

+ &C. 

Unde comparaodo membra, crit »=o, <j=-, £ = f= Ii 

4 a 16* 

*~ 32 ' '~ 64» &C * 
Adeoque S = x~ in 

- i 3-8 A» jiBy !Oj-;>6C * 

4 1 — x u + |f i6 i^x.* •-j.|.*^i-r 3 i. 1 _xx«+ I .*4. l .^.3 + 

Cujus Seriei progrefllo cuivis patet. Et ubi datur valor ipfius x in 
cafu quovis particulari, dabitur Summa pro libicu accurattj primo 
fcilicet addendo numerura fufBcicntem Terminorum initialium, eo fine 
ut 2 fit fatis magnaad efficiendum valorem ipfiusS ccleriterconvergere 
Et hifce prasmiffis de Seriebus quarum Termini funt affignabiles, pcr- 
gcndum eft ad cas qua; determinantur per relationem Terminorum. 

Propositio IV. 

Data relatione inter Summas fuccejfivas, hwenire eam 
qua efi inter Termims. 

In .flsquatione dcfiniente relationem inter Summas, fubftitue pro S' 

S% S",&c. fuos valores proprios S— T, S — T— T', S T T_,T'! 

&c. & fic habcbis .rEquationem involventem Summam unicam S i in 
qua fcribc valores variabjiium confequcntes pro antccedcntibus, & ha- 
bebis JEquationem novam involventem Summam illam S: opc harum 
denique .rEquationom eliminctur S, & ea quae rcfultat monftrabit rc- 
lationcm Tcrminorum. Q^E. I. 

K Exemplum 



34 Summatio Serierum. 

ExEMPLUM I. 

Sit ^quatio ad Summas, r^» S = r^"i S' •, pro S' fubftitue fuum 
valorcmS — T, ac evadet ^quatio »— iS = T ; in quafcribe va- 

lores variabilium fuccedentes pro antecedentibus, id eft, S T pro S, 

T' pro T, & z-f- i pro zj atque prodibit iTr7S=„"ir;T-|-zT'i 
hanc de priore » — , S = 7~7, T fubducito, & manebit Z~~l T = sT': 
quas eft JEquatio ad Terminos Scriei. 

ExEMPLUM II. 

Proponatur iEquatio ad Summas S x i*T-±Td^ -f- 3 S'x W— j ; 
fubftirue S— T pro S', ac invenics S = ^ Tx ^^p"^ : dcin jux- 
ta methodum differentialem fcribe S — T pro S, T' pro T, &z-L-r 

pro z, ac provenictS_T=lTx 8 -f^q^ 9 iopeharumiEqua- 

tionum extcrmina S, & habebitur 1+7 T +3 T'z = o, quar cft iEqua- 
tio exhibens relationem Tcrminorura. 

Atquc eadem methodo exterminantur trcs, plurefve Summx fuccef- 
fiva:. 

Propositio V. 
Inventre Sertes quotvh fnmmabtles. 

/Equattoad Summas dabitSummam Terminorum, ea vero ad Ter- 
minos dabit Seriem ; prjor pro libitu afiumitur, & cx ea deducitur 
pofterior per Froporuionem fuperiorem : habentur ergo Tcrmini, eo- 
rumque Summa. Q.E. I. 

ExEMPLUM I. 

Sit iEquatio ad Summas Z~~ S=I^Z7S', ut in Exemplo primo Fro- 
pofitionis praecedentisi invcnies eam ad Tcrminos efle ~~T„T=zT 
,"Equatio autem ad Summas, fubftituendo S— Tpro S', dabit Sum- 
z— J 

mam S== ^Z7 T ' Defi gncnt jam A, B, C, D, &c. Tcrminos hujus 

Seriei, &in^quationc adcofdcm fcribe, m, w-j-2, w-L. 3 , &c. 

fuccef- 

5 



Digitized by Google 



Summatio Serierum. 3 5 

fucceflive pro 2, exiftente m numero quocunque integro vel fraclo, 
negativo vel affirmativo ; atque prodibunt rclationes Terminorum, 

B = ^=_" A> C=--" + -B, D=^:±ic, E=^=# 3 D , 
m > i»+i »+2 ' »1 + 3 

&c. Tum in JEquatione S = T, fcribe primum Terminum Se- 

riei, id eft, A pro T, & primum valorem ipfius 2, id cft, m pro 2 v 
atque invtnies 

S = A = A4 AH r- 1 — B-4 1-7- C4-&c. 

Ubi fubftituere licet quofvis numeros pro m & n. Sit Exempli gra* 
tia « = 5, » = 2, A=^, &proveniet 

- = - + f A+iB + |c + ^D + &c. 

id eft, ^- = — + -,+ rs + A + «r« + 

3 3-4 1 4-5 1 5-o 1 b-7 n 7-8 1 

Ubi patet Terminos efle aflignabiles •, id quod femper evenict quando > 
« eft numerus integer: tot vero erunt factores in Dcnominatoribus, 
quot funt unitates in n. Sic in praefente Exemplo, eft ;j = 2, & prop- 
ter id funt duo factorcs in Dcnominatoribus Terminorum. 

_ • 

Sit jam »1 = 2, » = 7, A = 1, & prodibit 

S = 2 = ,+l A + |-B+ 5 r C4-f o D+lE + &c 

hoc eft, S = 2« . + + j + £-f-^ 4- £ + &c 

Nunc autern conftat Terminos non cfle aflignabiles, quoniam n eft nu- 
merus fraclos. Notandum Seriem abrumpere & efle numero Termi- 
nomm fitiitam quotiefcunque eft m — « nihil vel integer & negativus. 
Atque fi n — 1 fit nihil vel numerus negativus valor Seriei crit infinitc 



m- 



m^gnus : ut conftat cx valorc Summx, nempe A. 

EXEMPLUM 



3 6 Summatio Serlerum 



ExEMPLUM II. 

Sit i^Equatio ad Summas S x S«-t-ic*+<) + 3 S' x 8«*-H*— ; , utin Ex- 
emplo noviflimo Propofitionis fuperioris, ubi inventa eft 

j 822^-42— j 

S = — T x — | — -, & relatio Terminorum erat T+3zT'=r o. 

Et fi ufurpetur unitas pro Termino primo, & primus valor ipfius z 
ponatur ctiam unitasj obtinebitur 

S -b+- l - S + 9 - 2 7 + 8-i-243 + &C - 

Ubi Denominatores funt dignitatcs ternarii, Numeratprcs vero numeri 
triangulares. In hifcc Exemplis non expati.itus fum in deducendis 
Seriebus ex ./Equationibus quse definiunt relationes Tcrminorum, quo- 
niam hoc ex Jntrodudtione haftenus notum fuppono. 

$CHOLION. 

Summatio Serierum in Mcthodo difFerentiali, refpondet Quadraturae 
Curvarum in Methodo Fluxionunv, & eapropter in utraque oriri fo- 
lent difficultatcs confimiles, qu.T hic funt cnodandae. Diximus Se- 
ries hinc inde continuari pofle in infinitum: exempli gratia Serics 

i+x+x*+x' + &c. retrorfum continuata eft j4"~i+~ } + &c 

Et hac duae fimul jun&se conftituunt unicam ex utraque parte excur- 
rcntem in infinitum, fcilicet 

&c. +^ 4 + + 7 + 1 +*+*• +*• + *< +&C. 

N»m hi Termrni funt in progrcfllone Geometrica continua, antecedcn- 
tes ad confequentes ut unitas ad x. In Summatione hujus Seriei invenic- 

mus ~7£= i+x+*' + x J + &c. quod quidem vcrum eft ubi te 
eft minor unitate j attamen fi fit major unitate, hsec Serics erit infinite 
magna, atque Summa — , non amplius erk Summa horum Termi-. 
norum •, fcd mutato figno, aequabitur Seriei ad alteras partes excur- 
renti; hoc eft, crit vel = *-+ p + £ + &c. Quod 

fi 



Digitized by Google 



Summatio Serierum. 3 7 

fi x fit unitas, Summa erit ~^[> & inde utraque pars Seriei erit in- 

finite magna, utpote aequalis unitati infinities fumptas. 

Ad eundem modum fi TEquatio ad Seriem fit — * T = z T', & Se- 
rics continuetur cx utraque parte in infinitum; una pars converget & 

altera diverget prxterquam ubi eft n = i ; & Summa — | T fem- 

per sequabitur parti Seriei convergcnti. 
Haud fecus in Quadraturis, fi z — fit Ordinata Curvse Hyperbolicse, 

fluens ■^^2 , ~"exprimct partem Areac ad has aut ilJas Ordinatae par- 

tcs jacenrcm prout » eft minor aut major unitate : ubi tamen n efl: 
unitas, Area ex utraque parte Ordinata erit infinite magna, ut in Hy- 
perbola Apollomi. 

Series quidem, etiamfi quantitates qua; per eas quxruntur fint finitae 
magnitudinis, faepifllme folent divergendo evadere infinite magnae, 
in ulis autem cafibus concinuatx in alteras partes nonnunquam conver- 
gunt & asquantur -Radicibus quaeficis, vel ab iifdem diflerunt quanti- 
tate determinata. Nonnunquam etiam utrinque continuatae divergunt : 
facpius etiam ad utrafque partes nequeunt excurrere in infinitum proptcr 
Tcrminos impoflibiles vel infinite parvos. 

Infuper ficut Areae Curvarum nunc augcndae nunc minucndae funt 
datis quantitatibus, ut evadant veras ; ita ctiam Summa* pcr hanc 
Propofitionem invcntae nonnunquam difterunt a veris, quo tn cafu cor- 
rigendas funt additione vel ablatione quanticatis datae. Scilicet ubi JE- 
quatio ad Summas talis eft qualis efficit earum ultimam eflc quanti- 
tatcm magnicudinis finitac vel infinite magnae, femper opus eft corre- 
c~Hone: monftrabo igicur in fcquentc Propofitione, qua ratione affu- 
menda fit .flLquatio quas femper efficict ultimam efle nihil ; eoque patto 
fumma inventa erit vcra, ncc augenda neque minucnda, ut hactcnus 
monftratum cft. 

Propositio VI. 

Si Mquatio ad Summas fit Sxz» + az*-*+bz>-i+&c. 
~mS'y. z*+cz>- 1 +dz i — l +&c. ultima Summarum e- 
rit finit* magmtudmis in eo cafu folo, ubi efi m — i, 
& fimul a=c. 

Ad hanc Propofitionem demonftrandam, fciendum eft Summam S 
inveftigari poflc cx JEquatione definiente rclationem inter eam ejufque 

L valorem 



3 8 Sttmtiiatio Serierum. 

valorem fucceffivum S', codem ferc modo ac quancitas Fluxionalis ex 
fua JEquatione. Illum in fincm affumenda eft pro S Series hujus 
formx, 

z" . A , B C D 

->n A + -+-+ r ,4-&c. 

ubi »,/, A, B, C, D, &c funt quantitatcs invariabiles. In cafu autem 
praefente ubi Summa quxfica eft omnium ultima, adeoquc ad diftantiam 
infinitam remota -, erit z etiam infinite magna, utpote quse vel sequa- 
lis eft illi diftantuc vel ab eadem differt quantitate finita : hac de caufa 
Termini Seriei pofteriores funt infinite minores prioribus. Igitur ad 
abbreviandum computum, rejicio omnes poft primum, utpote qu£ in 

Az" 

hac demonftratione funt inutiles : fic habco S = ~~r"» »n °i ua fcriben- 

do S* pro S, & £+7 pro z; obtinco S' = ^E^. Hofcc valorcs 

fubftitue pro S & S' in /Equatione ad Summas, vcl quod eodem redit, 
in hac Sx*+< = «jSx*+7, mcmbris rcliquis ob rationcs fupra expo- 

Az" ibA \" 

fitas neglcclis ; & refultabit -pr x*+^= — ^jrp X t-r <• Vcl duccn- 

do in />*"*"\ &dividendo pcr A, pz"x~~~i = mx~~^ "xT~~t. Cae- 

terum pcr Theorema N—vtoni pro evolvcndo Binomio, cft C~~i" — 

~*-\-nz m — *, idqae accurate proptcr z infinice magnam. Hunc valo- 

rem fubftituc, & evadet ^quatio />z"xr+7 = «X2"+» a" -1 X*+7» 

quaedivifa per z» — fit pzx~»=~ «Xt+»Xi-i-f, vel pzz-\-paz=- 

mzz-\-~~~xmz-\-mnc ; in qua confcrendo mcmbra homologa, eric 

p=m & pa=-7~~xm, unde n = a — c: & proindc ultima Summa 

A2" Az* — ' 

S, quae antea erat — , jam evadit — — — , ubi notandum eft Coeffi- 

cicntem A non determinari. Fingatur nunc wr = i, & fimul az-c\ 
Az° ' 

&Summafiet -p-: eft vero z'=i, & i" = i, etiamfi z Gt infinite 

magna ; atque adco ultima Summarum eft finita, quippe sequalis quan- 
titati A ubi cft »1=1, & fimul a=r: alius autem non datur cafus 
Az'— ' 

in quo — --— cft quantitas finitt ubi z cft infinite magna. Conftat igi- 
cur Piopoficio. 

COROL- 



Digitized by Google 



Summatio Serierum. 3$ 

COROLLARIUM. 

Si m Gt minor unitate, ultima Summa erit infinite magna; & infi- 
nite parva ubi m eft major unitate. Et fi m fit unitas, Summa illa 
crit infinite magna vel parva prout a eft major aut minor c. Igitur in 
JEquatione ad Summas fi m fit major unitate, vel unitati sequalis & 
fimul a minor c; ultima Summa fcmper erit nihil & nulla CorrecVi- 
one opus crit 

EXEMPLUM. 

Sit Summa prima A= i, fccunda B = j A, tertia C = ^ B, quar- 

ta D = C, 4)uinta E = |^D, 8ec. Atquc ^quatio ad cafdcm erit 

Sx**+*+~* = S'x*t+*i quae collata cum jEquatione generali, dat 
w = i, tf = i» cszii & indc 0 — r=o; unde per hanc Propofitio- 
nem ultima Summarum, id cft factum fub omnibus numeris 

,X I" X H x p x 83 x i75 x &c * in infinitum > cft ^ ntiBls finita ' 
In JEquationead Summas fubftkue S — T pro S, & invenies S = 
— 4Tx*TV«, quae quoniam prodit negativa refpedhi ipfius T, ex- 
bibct Summam Terminorum non a dato Termino ufque in infinitum, 

fed a dato Termino ufque ad principium Senei. 

Quod ut clarius pateat, proponantur dus^quationes Szz = S'x«— i» 
& Sz = ST+7: utravis harum dabic eandem ^quationem ad Termi. 
nos, fciIicecTz=TT+I. Ex priore umen dcducitur S = _Tx**-H» 
& ex pofteriore S = T7+7. In primo cafu S eft Summa Tcrmino- 
rum ab initio ufquc ad T i & in fecundo S cft Summa lpfius T & 
omnium fcquentium in infinitum. In /Equacione ad Terminos frriban- 

tur numeri i, *, 3» 4» fucceffive pro z, & ufurpctur *- pro pri- 

mo Tcrmino, atque prodibit Series 

,-,+ iij+jfi+sh +p + £ + p + &c - 

Ubi fi quaeratur aggregatum primorum quatuor Terminorum, fcribe 
5 pro z in Tx*T=7 Summas S priore, & Terminurn quintum 

A pro T, atque obtinebis = j = ~ l + ~ ? + 3"++ 4~? 

5' quuuor 



Digitized by Google 



40 Summatio Serierum. 

quatuor utique Terminis initialibus. At fi vis Summam omnium om- 
Terminorum, pneter illos quatuor, fcribe 5 pro 2, & j-^proT, 



nino 



in Tr+"i valore ipfius S poftcriore-, ac habebis ^-=^- = j~ 6 + 

-i- _l_ -1t + - l- &c. Et hi duo valorcs ipfius S fimul additi, hoc 

6.7 1 7.0 1 0.9 



eft, Summa numerorum 7- & \ conficit ^-—^ = 1 pro valore omni- 

5 5 5 

um omnino Tcrminorum ab initio ufque ad infinitum. 

Propositio VII. 
St Mquatto ad Seriem fit 2— «T + m— 1 .zT, ertt 

-+-^ X- + &C. 

Finge Summam S aequalem efle Termino T du&o in quantitatem y, 
hoc eft S = T?i dein fcribe valores indeterminatarum pofteriores 
S — T, T', y pro prioribus S, T, & y refpe&ivc, atque habebitur 
S — T = T y \ quse ablata de priore S = Tj, relinquit T = Tj? — 

T y, unde eft T'= Tx^. Sed per iEquationem ad Seriem fci- 

-T 



licet ~» T + «TI . 2 T', eft T'= — Adeoque atquando fibi 

invicem duos ipfius T' valores, erit Tx ^7-^ = — = qu* d >- 

vi(a per T, & d.u&a in ^Z7./, evaditJ^T.ji — m+i = — /+ 
— y\ vel . y + y — y — m + 1 =0: quae eft A2quatio DifTcren- 
tialis ex cujus refolutione dabitur Radix y. lllum in finem aflume 

)= fl + z" + 2^jrr + 2.2-f-1. 2-f2 + 2.2+ I. 2 + 2. 2+3 + &C ' 

tum fcribc pro v & 2, valores earum fuccedaneos / & 2+1 refpe- 
ctive, atque habcbis 

y'=a 

7 



Digitized by Google 



Summatto Serterum. ± i 

/=«+ 

Z+l ' 2+1.2+2 + Z-t-l.2-f-Z.2-t-;, + Z-t-l.2-J-2.Z-j-3.Z-f4 + * fc 

hoc cft, / = * +4 + ± 5r+ -^FV + ■ . + &c. 

' ' Z 1 Z.Z-f-I 1 Z.Z-j-I.Z-f 2^ Z.Z+ lJL+ZJ+-^~ 

Atque prior valor ipfius / multiplicatus pcr — , cvadit 

2 

Z > ~" Z + Z.t-f l + Z.Z-f I.Z+2+Z.2+ l.Z-|-2.Z+3 ' 

Hofce valores ad eandem formam jam reduclos fubftitue in .£quatione, 
& rcfukabit 

. mb—na . mc — n-\-\ .b , m d— »4-1. c , _ 
ma - m + l +——+ zz+i + ^^ +^.=0. 

m— 1 

Ubi ponendo membra homologa arqualia nihilo, habebitur a=- 

i=-a t c = ^t- 1 K d = * = ^t- 3 4 &c Et hifce datis, 

dabitur valor Radicis y, quae denique dufta in T exhibebit pro S, Se- 
riem in Propofitione exhibitam. Q^E, D. 

Corollarium. Si » fit numcrus integer & negativus, vel nihil ; valor 
ipfius S abrumpet, exiftente Scric fummabili. Et ubi m eft ncgativus, 
Series erit infimte magna. Hic autem excipio cafum in quoeft m = o; 
tum enim Serk* fummabitur per Excmplum primum Propofitionis 
quintae. 

Exemplum L 

Proponatur Series fummanda A + j B + j C + |-D+ 

^•E+&c^quatioeamdefinicnseft2— | T — 2 z T'=o, ubivalore* 

fucccfiivi ipfius 2 funt 1 J 3 p 4"-. &c & illa collata cum 

JEquatione generali dat »=p «— 1=— 2, five «=— 1 ; quibu* 
oritur 



42 Sutnmatio Scricrum- 

c_ t - 3B 7D oE 

, 2 1 "~ 22 "" 22^f2~ 22+4*^27^6 "" ~~ ^ 

In qua (i fubftituatur quilibet Tcrminus pro T, & pro 2 valor fuus 
correfpondens, crit S Summa ipfius T &Terminoruni omnium fequen- 
tium ufque in infinitum. Colligo itaque duodeccm Terminos initia- 
lcs-, eorumque aggregatum emcrgit .78533961813. Dein ut obtineam 
Summam rcliquorum, fcribo Terminum decimum tenium, id eft, 

.00003029411 pro T, & pro 2 valorem fuum debitum 13 —-, atque 
habeo 

S =.00006058822 — — A_— B — — C— . - D — — E — &c. 

27 29 31 33 35 

Ubi Termini prodeunt alternatim tiegativi & affirmativi, hofce difpo- 
no in una columna & illos in altera ut vides 




.00000224401 

3744 j 



204. 
20 

3 
r 



4- .00006082899 — 00000228373 



Tum Summam negativorum .00000228373 auferens ab ea affirmativo- 
rum .00006082899, habeo S-5.00005854526, qiue adjefta Summx 
initialium exhibet .78539816339 pro valore Seriei propofiue, id eft, 
pro Area Circuli cujus Diamiter eft unitas. 

ExEMFLUM II. 

Quatratur valorSeriei 1 — — A — — B — |- C — \ D — — E — &e. 

2 4 6 0 10 

iEquatio definiens relationem Terminorum eft 2 — l - T+zTco, 
in qua valores Abfciflse 2 funt 1, 2, 3, 4, & c . comparando autcm 

hanc ^quationem cum illa in Theoremate, erit » = — , m 1 = 1, 

& »1 = 2: atque exinde 

S - 2 T + 4*+tt+*¥*+*¥** + 42+T6 + &C " 

Coilige 



Digitized by Google 



Summatio Serierum. 43 

Collige nunc decem Terminos initiales Seriei tranfmutandae, eorumque 
Summam reperies fore .6168670654. Dcinde ut habeatur Summa rc- 
liquorum ; in valore ipfius S fcribe Terminum decimum primum, id 
eft, .1761970520 pro T & 11 pro z ; atque prodibit 

S = .0880985260 + ^ A + L B +1 C +1 D + l E + &c. 

Et ineundo computum ut in margine, invenie- 
tur S = .0902397156, qu»2 addita aggregato initi- .0880985260 

alium prius invcnto efficit .7071067810 pro va- 20022392 

, , r 1251400 

lore Seriei, id eft pro >/-. Etenim V- fic fcripta 120327 

1 15041 

1 + i 1 & evoluta per Theorema Nrwloni, eva- 2250 

dit Sertes de qua nunc egimus. 3 88 

74 

SCHOLIOtf. - _ 15 

3 



Omnis Sefrescujus Termini funt per vjoes nega- $ = .01302207 156 
tlvi & affirmativi, fi tranfmutetur per hanc Pro- ' • 

pofitionem, migrabit in aliam celerius convergentem cujus Termini 
lunt ejufdem figni. Et c contra omnis Series cujus Termini fJrit 
ejufdcm figni, abibit in aliam cujus Termini funt alternatim negativi 
& affirmativi ■, qus umen non converget celerius- priore prxterquam 
ubi TranfmutatiO inchoatur a Terminis ab initio fatis remotis. Et li 
Series tranfmutetur, & rurfus tranfmUtetur ea quse ex prima Tranlmu- 
tatione prodiit, emerget ea prius propofita. Lxempli gratia fi Series 

1— j+j— ^+^- — &c. tranfmutetur, prodibit j+ j- A + 

-B + -C+-D+&C dein fi noviffima tranfmutetur emerget pri- 

5 1 7 9 

ma 1— --+- -_ — + &c. hoc eft, transfert Seriem de Tangente ad 

3 5 7 

Sinum, vel de Sinu ad Tangentem. Sed in hifce cafibus debet ope- 
ratio ordiri ad primum Tcrminura Seriei, nempe ubi agitur de Tranf- 



Propo- 



44- Summatio Serierum. 



Propositio VIII. 

x — m 2 — n 



Si Mquaiio ad Sertem fit T' = — r— x £^+-j ^> ® 
_ ponaiur A =^"« T, B = n - A, C = B, D = "-=j^c, 



A . B . C D 



Etenim fuppone S=Tx mjxy» & P<r methodum Differentialem 
erit S — T = T'x* — »-t-"x/» harum ^Jquationum Diffcrentia dabit 
T=Tx*^»Xj — .Tx»-»+iX/. Pro T' fcribe fuum valorem 

^Xr^Ei-T, atque habebitur T=T X ~ »X)-T'X^ x 

I^TiX/ qua divifa per Tx*^;, evadit £~=J — /> vel 

j_/+ ~ 7n =0 ' Ex hac vcr0 - ff:( l uatione cruetur Radix y 
ad modum fequentem. Finge 

y~m~*m~-\- 1 .2T OT + 2 .2.2+ 1 »1+3.2.2+1.2+2 
Erit/ = 

* I * I f J _! I & c 

ffi T »1+1.2+1 T ro-f-2.Z-l-l.Z+2 T m-|-3.Z-t-1.2-|-2.2-f.3 ' 

Et 7—/= 

m+I.2UE+l"T"«+2.2J2+I.2+2" , 'm+3.2.2+1.2 + 2.2+3 T 

Atque * /= 

* W _L . . I m J- » . 

CT2 ' m+ 1 .2.2+1 T w+2.2.2+1 .2+2 "t"iil4-3 .2.2+1 .Z+2.2+3 

i ■ '. Adeoque 



Digitized by Google 



Summatio Serierum. 4 5 

Adeoque)— /+ ^ 

1+ f , 4. . ' , + , i r-4-&r 

2 1 2.2+1 ^Z. 2+1. Z + 2~2. 2+1. 2 + 2. 2+3 

Eft vcro — ^ — — 
2 — « 

i_ . « , » . » + 1 ».*» + 1 .»+ 2 

2 "T*2.2-f I +2.24-1.2+2 + 2.2+1 .2+2.2 + 3 &C " 
Igitur ,_/+-,_-_ - 

a — 1 . « r — ».«+ i . <f — ».»+t.» + 2 

2 "T"z. 2 + l"" 2. 2+1, 2+2*T"2[2+I. 2 + 2. 2+3 "T &C « = °« 

Ponc jam Numcratores nihil, ut cvanefcant Terminii & pro deter- 
minatione Cocfficicntium habebis 7Equationes fequentcs d = i, b = n, 
f = «. 1, J=n.n-\-i &c. fubftituc hofcc valores in Serie af- 
fumpta pro y, vice ipfarum a, b, c, d, &c. & valor ipfius y, exinde or- 
tus dultus in Z^T, cxhibcbit pro S, Sericmin Thcorcmate pofitam. 
CLE.D. 

Corallarium. Si » fit integer & negativus, vel nihil ; Serics fumma- 
bitur accurate per hoc Theorema. Et fi m fit nihil vel negativus, 
Series erit infinite magna. Infervit autem hsec Propofitio & luperior 
Quadraturje Curvarum binomialium. Hsec ufui venit* ubi in Ordinata 

* t 'x*+/x ,1 \ eft *+/x" = oi fupcrior vero adhibenda cft ubi con- 
trarium accidit. 

ElIMPlDM L 

Qusratur valor Scriei A + ^B+^C + ^D+^B+fc. 

z ' 2 — L 

^lquatio camdefiniens cft T' = — -^- X jT+T T, uti patcbit fcribendo 

valorcs i, 2, 3, 4, &c. fucccflive pro 2. ATquatio autcm in Thcorcmatc 

1 1 

comparau cum hac, dat m = — , n — J> undeA = z— "T, B = 

A 



4.6 Summatlo Serierum. 

^> C = I^' D = I^4' E= ^T6' &c.atqncS=iA + 

2 2 2 2 

jB-j-jC+^D-f- - E + &c. Incundo computum repcrio ag- 

gregatum duodeccm Terminorum efle 1.407397508. Dcin fubftituo 

Terminum decimum tcrtium, id cft, ^x. 161180258 proT, & pro* 
valorem fuum correfpondentcm 13, fic prodtt 

\='X.i6ii8o2 5 8, .166180258 
B = ix - 6199241, 2066414 

C = Jx- - 664204, w*** 

D15814 
= iX--H070i, K + 



E = ix 24261 



269I 



F = jx - - - 6410, i 5I 

G = ix - - - 1959» 45 

H=ix - - - 670, '5 

I =iX- - - - 250, 5 

I 



K=Jx 102, 

L = ix - - - - 44, 
M=|x 20, S=.i6 3 3 9 8820 

Ex hoc computo habco S =.163398820, valorem utique Terminorum 
omnium poft decimum fccundum; qucm itaque adjiciens Summx 
initialium, 1.407397508, habeo 1.570796328 pro valore Seriei fum- 
mandai, id eft, pro longitudine Arcus fcmicircularis cuius Diameter 
eft unitas. 

Termini initialcs, quando eorum Summa eruitur, facillime reducuntur 
in fractiones decimales per regulam fequentem, pone «= 1, b = 

a—-a,c = b— I -b, d=c—^c, e = d— *-d, &c. eruntqucTcr- 

EZEMPLUM II. 

Proponatur Serie* Brounkm -± + ji- + -L + -L + && K . 

quatio 



Digitized by Google 



Summatlo Serierum. 47 



quatio ad candcm eft T= — — x -r-j T » vcI etiam T'=— — x — * T » 

z 2— j— T 2 1 

fcilicet fumendo initium Abfcifla? z a diverfis pun£tis. In priore va- 
lores ipfius 2 funt -, -, -, f", &c. »» = 1, » = -, A = z T, 

B = ^, 0=^^, D = I |^, &c. In pofteriore valorcs ipfius 2 

funt 2, 3, 4, 5, «=1» «=7» A = z_Lt, B = ~, C = 

j^-j, D = &c. & in utroque erit S = A+^- B + j C+ 

D-f-&c. Dabitur crgo S ad plures figuras fumcndo pro T quemvis 

e Terminis fat longe diftantibus a principio. Et fimiliter in aliis ca- 
Gbus inftituere licct computum, idque duobus modis diverfis ubi Ter- 
mini funt affigrwbiles. Hsec autem Series hunc in modum fcripta 

i_ -4--_-4-- _ &c. facilius traftabitur per Propofitioncm 
tertiam aut feptimam. 

SCHOLION. 

Hactenus cgimus de Summatione Scricrum quas prodeunt in Qua- 
dratura Curvarum binomialium, & fimilibus. Caeterum procedcre 
licet eodem modo in cafibus difficilioribus : nam Summa Seriei deter- 
minatur & erui poteft ex data rclatione Terminorum v idque refol- 
vendo jEquationem Diftcrentialem ut in noviflimis duabus Propofiti- 
onibus. Problema autem eflet laboriofum qujerere Summas indepen- 
dentcr a Terminis, quando Tcrmini non funr aflignabiles v ideoque 
qu*fivi quantitatcm quse dufta in Terminum T exhibcc Summam S. 
Sic etiam Arese Curvarum facilius eruuntur mediantibus Ordinatis, nam 
Series liac rationc prodeuntcs funt fimpliciflims. Et hifce praemiffis 
pergo ad mcthodum refolvendi Radices /Equationum pifferentialium 
in Series magis quidem compofitas, at fimul longe magis convergentes 
quam fuperioresv quas ea tantum de caufa exhibui, quod eflent fim- 
pUccs & ufibus vulgaribus fuflkientes. 

Hucufque Summam quamfibet defignavimus per S, ejufque Termi- 
nos per T, T', T", &"c. At in fcquentibus etbm defignabimus Series 
vel Summas, pcr S2, S3, S4, &c. carumquc Tcrminos pcr T2, Ta, 

T 2, 



48 Summatio Serierum. 

T"2, &c. T3, T3, T"3, &c. &fic porro: adeo ut fit 

Sz = T2 + T'2 + T"2 + &c. 
S3=T 3 +T'3+T"3+&c. 
S4 = T4+T'4 + T"4 + &c. 



&c. 



Et ficut in Scric S, Summse fuccefilvae defignantur pcr S', S", &c. ica 
in Serie S2, denotabuntur pcr S'2, S"2, &c. atque in Serie S3 p«r 
S'3» S w 3, &c. Et fic in casteris. Hanc autem notationem introducere 
coa&us fum, propterea quod Summae & Termini diverfarum Serierum 
fimul confiderands vcniunt in eadem jEquatione. 

Propositio IX. 

Data relaitone inter duas Summas in dtverfis Seriebus, 
63* JEquattone ad Terminos in alterutra^ invenire AL- 
quationem ad Terminos in altera. 

Problema fblvitur progredicndo ex relatione variabilium prjefentc ad 
fuccedentem, ut cxindc climinentur Summac i id quod Exemplis pa- 
tcbit. r r 

ExF.MPLUM I. 

SintS & S2 dua; Summse in diverfis Sericbus, earumque relatio 

S = -^T+T T + S2 1 fit vcro T = + | T, rclatio 

Tcrminorum Scriei S : atque ex hifcc datis opporteat erucre iEquationem 

ad Tcrminos Swiei Sj. In ^quatione S=~^-j^^ T + S2, ex- 

hibente rclationem Summarum, fubfticue valorcs variabilium confcqucn 
tes pro antccedcntibus, hoc cft, S' fivc S — T pto S; S'z five S ' 
T2_pro S2; T pro T, & 2+1 pro 2i atquc habebis S — f = 

""£.'«+! T' + S2— T-2, qua: ablata dc priore relinquit iEquntionem 

liberatam a Summis, fdiicet T= .— T ^.T T ~,—i 

w.m + i 1 w.w+i 1 + 

T2 S unde eft T2=" + '' H l '"''r^ t ~l~i T , 

w.w + i «i.m + i 1 • m qua 

fubfti- ■ 



Digitized by Google 



Summatio Serierum. 49 

fubftitue pro T' valorem proprium — ~"— T, atque ob- 

2 2 — 7t | — I 



W. m — « -4- 



tincbis Ti = - \ , „ ; — ' „j_ , T. In hoc infuper valore fcribc valo- 
tn — (- 1 . z . 2 — a — j— 1 4 

res indctcrrainatarum fuccedentes T'i,<T, &2+1 pro pnefcntibus Tz, 
T, & 2, & orietur T'2 = w+l .£j~?^.j. a T ; ubi pro T' rurfus 
fubftituendo fuum valorem,. emergit T'z = — «.,„ — ,, ^ , — — 

0 WJ-|-l.2-|-I.2 — «+2 ^ 

~=? x ^=^, cx qua prodit T = ^^^±^f T ' 2 . /& 
2 2— 1 * K.m— :-\-i.z— vj.z— n 

n.m — n-\ \ 

quatioautem prius inventa Ti — „7^ _ t ~ " 2 «+7 * «kt *" = 



m-^- 1 x-— 
».»« — n 



— «-4- 1 

+7— T2. ^Equentur jam fibi invicem duo valorcs Termi- 

ni T, & incides in "vquationcm T'2 = ^p^X 2 T2 , qua 

exprimic relationem Terminorum Scrici S2. Q^E. I. 

EXEMPLUM II. 

Slc jam relatio inter Summas S = |x T-f S2, & 2 T.-{-3T'x 

]~~~ "Equatio ad Seriem S. In /Equatione ad Summas fcribe valorcs 

variabilium fucceflivos, & habebitur S — T = - x T' -4- S z — 

4 4 2" -J- t> 

T2: quam de priore auferens habcbis T = ^ffp* T_ ^ X 

T+T2 » cx qua comperics T2 = ^ x ^1t + ?- x 

4~j^6 T '- Caeterum per "iquationem ad Seriem S, eft 3^'= — 

^T, quofcripto, prodic T2 =+i T + ^X^" X 

^T.dTa^Tx^X^X^ Atque rur- 

O f us 



$o Summatio Serierum. 

fus progredicndo ad valores indcterminatarum fuccedentes, habebitur 

T'2= — — T'x — "i — X — Xr-T-i vclfubftituendo — — T 
4 A 22-|"3 2Z T4 22 T5 z+i 



pro 3 T', T'i = ^^X^X^X~qT: unde T = 
2.I7^.rrti.iT75.i«.+j. T'2; atque per valorem ipfius T2 eft idcm 

T = — — x tt-t-i Xit-^-iXii+j T2 ; quibus duobus valoribus inter fe 

3 

aequatis, obtinebitur 22-f x T 2 + 22+72+5 X 3 T'2 = 0. jE- 

quatio utique ad Terminos Scriei S. Et in aliis cafibus Gmiliter pro- 
ccdcndum ett. 

SCHOLION. 

Pcr hanc Propofitioncm Series infinitae intcr fe comparari poffunr. 
Nam ^quatio exhibens relationem inter Summas S & S2, dabit unam 
ex data altcra: & Termini ipfarum S & S2, dabuntur ex fuis ^quati- 
onibus, quarum una affumitur, altera vero ex ea affumpta eruitur : ut 
in Exemplis hujus Propofitionis. Ut fi relatio Summarum fit S = 

~1 T + S2, & ^quatio ad Seriem S, T = ^*^""^' Tj invc- 

nies T2 = & T'2 = £~^p7^jp7 T z ^quationcm ad Sericm S2. 

Sint iim 2, 3, 4, 5, &c. valores fuccedentcs indcterminatje 2; & ufur- 
pando unitatem pro T invenies 



'4 ^9 n 10^-25^36" 



&C. 



S: = ^- in 1 + - + t + — -+rr + &c 

X 1 y 1 3O ' IOO 1 225 1 

In priore Denominatorcs funt quadrata numerorum naturalium, & in 
poftcriore quadrata numerorum Trungularium. Relatio autcm inter 

Serits S =~p" T + S2, fcribendo 2 pro 2, & unitatem pro T, da- 

bit S2 = S — ~ y & ducendoin 8, crit 8S— I2 = 8S2 = 1 +^-+ 

1 

36 



Digitized by Google 



Summatio Serierum. 5 1 

-I -\ — - — |- -— ■ + &c. Et fimilitcr cum Seric in qua Dcnominatorci 

3 ^ 

funt quadrata numerorum naturalium comparari poffunt eas ubi Dcno- 
minatores funt quadrau Pyramidalium, Triangulo-Triangularium, Src . 
Atquc in genere poffunt comparari omnes Serics quae dcfiniuntur JE- 
quationibus fequentibus 

T _ Zltf-T, T'= J*+r-r. T, T'= -g&^ T, &c. 

Ubi numerator manet idem, Denominatores autcm formantur fcriben- 
docontinuc *+» P™ z - 

Propositio X. 

InvenirevaloremSeriei qnam proxime, qua definitur 

quatione bujus form<e 
T x z^a^y^b^+&c. - rT' %z»+cz'-'*dz—*+&c. 

C A S D s L 

Primo fit r=r 1, fingamos JEquationem ad Scricm cffe T'=— — - X 



2— "T l x. Ponamus effc S = ~^T quam proxime, vel S = 

Z— fl ' 1 

g 4-P y 1 g, accu rate: & progredicndo ad valores indeterminatarum 
fuccedaheos, «rit S-T_5±^T + S2_T»» harum iEquatio- 

■ 1 1 • t zJrf > T — _— ti T* + T2 ; unde 

num diffcrentia dabit T=— — 1 — q 1 T iZ » U1,uc 

x _ z zb£lhiT'— — — ^T. Pro T fubftitue fuum valorem 

j f 

^ x -^-J, atqne proveniet T2 = X — X£~£p T 

_ g+f— ? T . iuaus ad corronunem Denominatorcm dat 



T2 = 



5 2 Summatio Serierum. 

12 ~ ~^7z_«-fl A ' 

2-4- r 

Jamquo minor eft Summa S2, co proprius quantitas — ~-T accedetad 

valorem ipfius S ; & eo minor erit S2, quo minor eft Terminus ejas 
primus T2 : is vero evadet minimus ubi variabilis 2 eft minimarum 
dimenfionum in Numeratore ejus viloris •, nam hic z magna fupponi- 
tur: ponantur ergo CoefHcientes dignitatum z* & z nihilo aequalcs, & 
habebuntur dua: i_ quationes q — wi _= o, atquc - — ? x* — 1 — »— />X 
m -f- 1 = o, ad determinandum duas quantitates afTumptas />, q. Pri- 

ma dac q = m, ex qua & fecundi eruitur p = — 1 ., Undc crit 

tl.m — «i-i-i _, r „ iw-i- 1 . 2 — W_ 

= ■ CT -|-l.Z.2-,+ l T * atqUC fCrC S = + . ^ E ' L 

Et eadem prorfus ratione invenictur approximatio, ubi „Zquatio ad 
zzA-az-X-b 

Seriem eft T = az _|_ c2 _|_^ T, vel magis compofita •, fed Coefficien- 
tes poft & _ in hoc computo non ingrediuntur. 

Casus II. 

Sit jam -Equatio T x ZT+T -- * + r T x TT^TT^i = o, exiftente 
r numero quolibet , excepta unitate. Fingc S -c f x ~i~ T -4- S2 •, 
dein fcribe valorcs variabilium pofteriores pro prioribus, & emcrget 

S—T=/x^?^ T+S_ — T2, quarablata de priore relinquit 

z-\-m „ z4- — 4- 1 , 

T =; x ^r„ T — p X Z J{_™~^_ T-f T2 : haec ^quatio dabit 



_ 2 />Z— . . 2-4--J-1-I 

T2 = ^^i^^^+^X^^YT': fed per /Equationem 

ad Sericm S, eft T = — 7X ^j_^j _ji quo fcripto pro T, prodit- 

T2 = 



Digitized by Google 



Snmmatio Strierum. 53; 

ris mcmbra rcducantur ad communcm Denominatorem, & ponantur 
Coefficientcs trium akiflirrurum dignitatum ipfius 2 sequalcs nihil , 7E- 
quatio pritna dabit rp-\-p — fccunda mZm%t+\ —(•— a, tertia de- 
niqtie 7—4 x * » -\- &—b — m—n x rt-\-m-\-r-\-a -\-ma: & hx tres 
_ r b — i 1 , tf — c 

jEquationcs dant / s ;~T~7» »= M — TZ~ — r~^-~i' " — ~ + ~~T~.- 

Dantur itaque Quantitates aflumptae p, m, 8c n ; atque exinde etiam 
Quantitas /X ^ j^'" f T quse proximc aequalis eft Serici S. Q^E. L 

Propositio XI. 

Si T^^xjrSqptT ~**tf«« ~*A~f#f- 

w *» Termmorum Sertet S, /><wf 

_ 1 i» « OT—fl-r- I 

Tf _ 4 w "»4-3 v » +J v -—«+ 4 T A 
l $ — »7^fb X iPpjXz+3 X z--, l + 4 1 4 ' 

T6 5 »+4 " + 4 " + 5 T 

lb — ,/,4-& x w + 9 X £^R X *— » + 5 5> 

&c. 

~4-4 ~+3 

^4T6T^r-f-7 l4 + 

jr+~c,.Z+* — <; .» + 4 , 
w T 8.» T a *5T 
&c. 



54 SunmaHo Serierum. 

Per Propofitionem praecedentem quantitas ■_ m _^_ t Tpro»me«- 

gualis eft Seriei S. Sit ergo S = ^~ppf^ T -f S2 accurate, & m- 
_ 1 » » «— .«-f-i _ _, z — m 

v C mc S t 2 = - x ^ x - x 2 --v+t T « at< i uc T2 =-^frrx 

g T2 jEquationem ad Terminos Serici S2 : ex qua data, per 

Propofitioncm priorem cruitur quantitas - ' "^^^X^m^^ ' Ta 
proxime sequalis Serici 92. Dein aflumendoS2 = 2±i^±i^!±l x 2 
^S 3 , mvemetur T 3 = -^X^X^ X 2 -_^ T2 ; & 
T 3 = X z ,L"7-f 3 T 3 ^quatio ad Tcrminos ScrieiSj: unde 

comperics quantitatem m _^ m _\_ 5 T3 proxime xqualem Sc- 

rici Si. Et fic porro proccditur. Igitur primus Tcrminus in vaJore 
ipfius S proxime aequatur ipfi S ; atque Terminus fccundus proxime 
aequatur ipfi S2 ; tertius vcro proxime sequaturlpfi S3 & ita in reli- 
quis: hoc eft, Terminus primus proxime sequalis cft Scriei cujus valor 
quaeritur ; lecundus proxime aequajis eft dcfcctui primi Tcrmini a vero-, 
tertius proxime sequalis eft dcfedtui duorum primorum a vero ; quartus 
proxime aequalis cft dcfeclui trium primorum a vero; & fic deinceps. 
Igitur valor Summa: S cft vcrus & cclcrrime convergens. E. D. 

Corollarium. Abrumpet vilor Serici S hic exhibitus, ubi « vel m 

»-}-i eftnihilaut nunu-rus integer & negativus: atque in aliis cafibus 
abibit in infinitum ad veriutem quam cckvrime accclerans prceterquam 
ubi, propter m nihil ant neg.itivam, valor Seriei cft infinitc magnus. 

EXEMPLUM I. 

! 

Qjwratur valor Striei ' + 4 L + 9 L +^ + ^ + p-(-&c. "qua- 
tio definiens rclationcm Tcrminorum eft T'=r^^x— —T, exiften- 



Digitized by Google 



Sumtnatio Serierum. $ 5 

tibus 2, 3, 4, 5« &c. vsdoribus indeterminatse z. Hsec autem collat* 
cum iEquatione in Theoremate dat m = i, »=i, quibus fcripti» 
prodeunc 

T , T T . J Tt Ta 27 lL T, 64 -- 4 . &c 

EtS=^T + i^Ta + ^t5T 3+ ^T4+^T 5 

+ &c. 

Collige jam decem Terminos initiales, eorumque aggregatum reperies 
i. 5497.6773.1 166.5406.9. Tum pro z fcribe ejus valorem decimum 

primum, five 12, & Terminum decimum primum ^proT.atque 

percomputum invenies 

T =.0082.6446.2809.9173.55 .0950.413J.2314.0495** 

Ti= -2869.6051.4233-24 x.2434-9556 ^77-4 

T* = - - - - 22.6398.8277.97 65.6556.6006.1 

T 4 = 3118.7593.62 7128.5928.3 

T5= 63.3652.70 1 13.2102.5 

T6= 1.7 188.93 2.9690.0 

T7 = 583-9 6 9 2 °* 

T8 = - - - - - - - - 23.78 34-9 

T 9 = 1.12 ^£ 

$=.0951.6633.5681.6857.4 

Ex hoc computo habemus $ = .0951.6633.5681.6857.4, qu« adjefta 
aggregato initialium, exhibct 1.6449.3406.6848.2264.3 pro valore Se- 
riei propofitse. 

EXEMPLUM U. 

Summanda fit Serie, i + ^ A^B+|?C + H D+ ii E+ *c. 

^quat» eandem denotans eft T'= -~X;qpf T, uti patebit fcri- 
bendo valores 1, 2, 3, 4, &c. fucceffive pro 2. ^quatio autem in 
Theorematc collata cum hac, dat »> = -, « = -» adeoque 

T2 = 



5* 



Summatio Serierum. 



2.I.I 



T «i: 3 I£+.i T « T3S 57^K 9 »+3 T2 ' T4 =9 »4V.U +S T > 



6.2^1.2 



&c. 



22.^4 5.6 



T+ ""t;-' - T ,+ r T 3+ &c. 

Per additionem reperits Summara decem Terminorum initialium efle 
1.3916.94645943.2880.5 •, dcin ut eruatur Summa reliquorum fcribe 
1 1 pro z, & Tcrminum decimum prknum pro T, & habebis 



T s= .0013.9002.5809.6168.1 5 

T2= 2210.8921.7644.71 

T3 = 15.1604.0349.56 

T4= 1963.2742.16 

T 5 = 38-8835-92 

T6ss 1.0484.9+ 

T?=s 358.18 

T8= 14.77 

T 9 - 7i 



.1789.9383.0605.1587.3 
1.0738.619 1.4274.3 
45.9406.1665.3 
4570.9051.0 
76.0818.3 
1.8 104.4 
562.5 

21.5 
1.0 

S=. 1791.0168.0851.6085.6 



Addatur nunc S aggregato- initialium, & prodibit 
t.5707.9632.6794.8966.1 pro valore Scrici, id eft, pro fcmipcriferia 
Circuli, cujus Diamcter eft unitas. 

* 

ElIMFLVM III. 

» rep «. w j» &«. i+a^ B+|i! c + £|d 

quc definitur ^quatione V^r^^^^T^ in qua 1, 2, 3, 4, &c. 
fimt yalojes indetfcminatae z. Et erit m = » = ^ j & propterea 

&c. 

6.z— 1.1 14. ^-^2.5 22.rn— 3-9 T , fl 

«&_ 1.3 l + " 5.7 ' T *+ ^Ta+aftc. 

Colligo 



f 



Digitized by Google 



Summatio Serterum. 57 

Colligo jam novem Terminos inicialcs, quorum Summa prodic 

.5055.0041.4718.3195.8, &fcribens iopro z, decimum vero Termi- 
num pro T, habeo 

T =.0047.5565.5924.4791.67 .0935.2789.9848.0902.9 

T2 = 921.6387.4505.41 4160.5406.2053.0 
T3 = 6.8760.0058.48 

T4= 995- 8 557-°Q 21*5*7755 9 

T5 = 22.0991.75 40.9826.8 

T6 = 6653.41 «-0937-5 

T7= . 252.54 379.0 

T8 = 11.51 j6.i 

T9 = 61 8 

S = .093 5.6970.2649.4765.3 

Summa denique inicialium addica ipfi S, conficic .5990.701 1.7367. 7961. 1 
pro valore Scriei, id eft, pro Ordinaca Curvae Elafticse. Ec hunc 
numerum Jacobus BernouUius re£ce invenic concineri incra limices .5983 
& .6004. 

E-EMPLUM 17. 
Propon™ Seric . +il A+gfH^C+£{f D+gZMfc 

quse dcfinitur iEquacione T = — — x — rr T, cxiftentibus 1, 2, 3 4, 

21 



1 3 

&c. valoribus indeterminatse fucccdentibus. Eft vcro 1» = -,» = - j 
& proinde 

T,_- iit-T T, 3-*-7. - 5 -3" T . 

* 2 — 2^,+Z-j-I 1 ' 1 3 = lo-Z+i.+^f-j 1 2 » A4 ~ 18^-1^+^-9 

&c. ' 



_ _ 22- — I_ . 2Z-f-2_ , 2Z-Ui;_ 22;4-8_ . 2r4-u_ , 
EtS= — T+-pT2+-3-.T 3 + -^--T44 r -^-T S +&c. 

Summa novem Terminorum initiatium eft 1.2157.0599.7306.1360.6. 
Et ut habeatur Summa reliquorum, pone 10 pro 2, & decimum Ter- 
minum pro T, ac per computum obtinebis 



5 8 Summatio Serierrtm. 

T rr.0050.1271.8406.8S34.46 .0952.4164.9730.7854.7 

T2 = -- -1833.9i13.6837.20 8069.2540.2083.7 

T3= - - - - 15.5605.449438 43-2237.3595.5 

T4= 2425.8219.16 , 5224.8472.0 

T5= 56.8742.44 103.7118.6 

T6= 1.7922.51 2.9017.4 

T7 = 707-95 »047.8 

T8= 33.45 46.1 

T9 = 1.83 2.3 

S= .0953.2277.9839.9238.1 

Adjiciatur jam S aggregato initialium, & obtinebis 
1.3 1 10.2877.7146.0598.7 pro valore Serici, id eft, pro longitudine 
Curvje Elafticz, modo in lineam redtam excenfa forct. Huoc auterrv 
numerum detcrminavit BernouUius confiftere inter limitcs 1.308 & 1.3 15. 
Quod fi longitudini Elafticse adjiciatur fua Ordinata, habebitur nume- 
rus 1.9100.9889.4513.8559.8 qui eft femiperifcria Ellipfeos habcnds 
1 & */2 pro Axibus. Et harc Exempla fufficiant ; haud enim immo- 
ror Seriebus quse pcr hanc Propofirionera fummari poffint accurate. 

Scholi ON. 

Hoc Theorema nullo fere negotio exhibet Arcas Curvarum binomi- 

alium quarum Ordinatae continentur fub forma x'xe+/P\ in unico 

tamen cafu, fcilicet ubi eft e-\-fx'z=o t five ** = _j--, hoc eft in eo 

cafu in quo Series pro Area convergit lentiffime. Sed ubi Arese non 
produccndaE funt ultra octo aut novcm iiguras, fufficit quaerere Sum- 
mam quatuor Terminorum initialium, nam S dabit eam reliquorum ex- 
iguo labore ; imo fi nulli Termini initiales colligantur, fed inchoetur 
tranfmutatio ad primum Tcrminum, valor ipfius S approximabit ad 
valorem totius Seriei fat ccleriter. Series autem in Theoremate, rcd- 
ditur generalior, atque extenditur ad cafus qui ad Quadraruras non at- 

tinent, ut fequitur. Sit /Equatio ad Seriem T'= zz j^[Jj^ r T, & 

1 



Digitized by Google 



Summatio Serierum. 59 

. r — ct+k+i _ T2 m£+„_4+jX~l-»-f 1 

* = »+* - W + 2 T . T 3 - x ^gSP^ . 

r— a»+2»+4 - T3 CT r+;_7^xM- t »+4 
<=»+« T4= »+? X ^+HR.^+"+4 - 

r— T4 w f /- ^-^-f6X'-t-3"-H> 
rf_»+6-- , 1 5 - „ +5 X S+^. 2 +r +3»+9 ' 

r_w+4fl+i6 ^,, T5 >«<+»— »+*XH-4»+ 
r = «+ 8 7 _p , T 6 =^X SW 3X+r+ 4 »+ • 6» 

&c. &c 

Eritque S = 

Z-fg—I _ Z+i_T_ , 2+£— I - , 2+4— I _ , T - 

^ +tft +-qT 5 + t+t T4 +^+r T > 

+ &c. 

EXEMPLUM. 

P ro po M tu,Scri«i +£A+jgB+_C+_,D+;_,«* 

2 2 13 5 

qux dcfinitur ^quationeT' = — rrX— ttT, exiftentibus — , — , ~» 
2-, &c. valoribus Abfciflie 2 fucceffivis. H_c JEquatio comparari ne- 



2 

.1» 2— n 



quit cum T'= X — T, ea fcilicet in Propofitione ; in qua 

1 2 2— W-J—I 

utique funt duo faftores 2 — », & 2— »+1 unitate differentes, quorum 
aJtereft in Numeratorc, alter in Denominatore : quum tamenin AJquati- 
one propofitam Seriem definiente differcntia: faftorum in Numeratore & 

Denominatore fint - & -. Igitur multiplico faftores in fe, & pro- 

di t T' = - ±* \- T, & pergo ad _£quationcm inScholio-, quam 

cum altcra comparans, habeo »1=0, »=2, &r = jp & hifcefcrLp- 
tis oriuntur 

a s 



Digitized by Google 



60 Summatio Serierttm. 

II Tj ' . 9 T 

8» 1 2 — 8 * 42z-J-Sz-f 3 1 » 

,_ I__ T l _ 5 49 «p 

T r 7 - - . 8l T_ 



f ~ 4°* 



— 40 x 422+402+99 5 * 
&c. &c. 



* _» T, +^ T 3 +^lT 4+&c . 

Qujere jam aggregatum fex Terminorum mitialium, idemquc prodibit 
.6106.6818.2373.0. Tum fubftitne fcptimum Terminum pro T, & 

valorem feptimum pro 2 ; & per calculum invcnies 

T =.0036.3492.9656.98 .0258.9887.3806.0 

Tz= 1825.5785.1 1 5 2l o-5°53-3 

T 3 = 29.7131.92 59- 6 739-9 

T 4 = 842.5.62 1 .3 879.7 

T> = 339.30 491.0 

T6= 17.50 23,1 

T7— 1.09 14 

$ = .0259.5158.9994.3 

Invcnta iwc modo S, eadem addatur Sumnue inittalium & prodibit 
.6366.1977.2367.3 pro valore Seriei propofitx. Si vcro unitas divida- 
tur pcr hunc numerum, quotus dabit Aream Circuli. Et eadem rati- 
one rranfmutantur Scrics quae definiuntur j_quatione hujufmodi T'= 

^j^^r^^jpj T, vcl cttam gencraliori. Ec notandum eft JEquz- 

tioncm in Scholio T'=^^^-T, non ad pauciores cafus idco ex- 

tendi quod in Numcratore defit membrum in quo 2 eft unius dimenfio- 
nis: illud enim femper tolli poteft mutando principium Abfciftis, co- 
quc pacto Thcorema rcdditur fimplicius. 

Propo- 



Digiiizfid by Google 



Summatio Serierum. 6 1 

Propositio XII. 

Oporteat tranfmutare Seriem definitam Mquatione hu- 
jus form<e 

T X ** + *Z»-' +rT' X 2« + CZ* - i -f dz ' - * + & C -q. 

*« celerrime convergentem. 

Affume m = r_ jL^_--£_ t atque perPropofi- 

tionem decimam erit x T proxime sequalis Serici. Sit itaque 

quantitas illa primus Terminus Seriei tranfmutatae : & ad inveniendum 

fecundum, ponatur S zrj-f-^x T+S2 i deinde per Propofitio- 

ncm nonam quxratur ^quatio ad Terminos Seriet S2 ; & ex illa eltci- 
atur quantitas proxime asqualis Scriei S2, eodem prorfus modo ac ap. 
proximatio ad Seriem S prius invcnta/uitj & quancitas illa cric (e- 
cundus Terminus Seriei tranfmutataj : ac progrediendo fuper hifce vc- 
ftigiis, invcnirc Jicet Terminos fequentes tot quot volueris. Q^E. L 

EXEMPLUM t • 

Tranfmutanda fitSeries^ia in 1— -I — — 4 — — — 1— + 

3-3 5-9 7**7~9- Sl Il2 43 
&c. quam adhibuit HalUius in Quadratuta Circuli. Rclatio Tcrmino- 
rum definitur ^quatione zT-f^TT+Tsso, in qua valorcs ipfius z 
' ? 5 7 

funt -, -, &c. Comparando autcm hanc cum ^quatione ia 

Problemate, eritr=3, a = o, b = o, < = i, d=.o; &inde»i = ^, 

» — ~ i quibus fcriptis habcbitur ^X^f T pro primo Termino 
Seriei tranfmutatas. 
Finge S = -x T+S2, tum fcribcndo valoresvariabilium fuc- 

R ccdentc* 



6 2 Summatio Serierum. 

cedentcs pro antecedentibus, proveniet S — T = - x - ' ; T-l-Si — 

4 4H-0 1 . 



T2, quarum ^Equationum differentia dabit T = ^x^j^T— 1 x 
g^T+T,, & „i„d e T 2 =i-x^T + l x ^T. L 

per ^quationem ad Sericm eft T'= — ^" T X^j i quo fubftituto, 

, . . . _ 1 1 2 s 

obtinebis T2=— j X~pX X 7^X^ T - In °» u0 vaIorc rcr »- 

bendo quantitates variabfles pofteriorcs pro prioribus, emerget T'.i = 
-^ X ^ X ^ X I^-1 T; VCl ^«"uendo-iTx^-pro 
T, eveniet Ta=+i X ^Xj^X^X^T» per hunc 
valorem ipGus T'2, eft T = j x 7X^7x11+7 X 71^ X IZ^T T'2 : Et 

per valorem ipfius T2 antca repertum eft T^—l-xITrTxTI+^Ix 
**-fJ T2 . Denique zquando hofce duos valorei, Termini T, prodibit 
22 +7 2 xT2+3T'2xzz+2-2>+. 5 ==<?> .ffquatio utique ad Termi- 

nos Seriei S2 > qua; collata cum illa in Propofitione dat r=? a = 
1 9 

-, * = o, f=-, «? = 5 j hinc fit « = 3, »=2> & proinde erit 

3 2+3 

4 X^|-;T2 proxime sequalis Sertei S2 ; adcoque Terminus fecundus 
Seriei tranfrotttatae. , 

Ad inveniendum tertium affumatur S2= 2- X^pj T2 + S 3 , & „. 

de per methodum Differentialem e.rtt S2— Ta = - X ^±* T'2 -USi 

4 ~+ 3 ' 

— T3, quade priore fubdufta, manetT2=- x ^i^T2 — ^-v t 2 

4 2^4 4 * 2+3 

+T 3 , cx qua oritur T 3 = 1 X ^=i T 2 + L x i±i T ' 2 . Sed per 

>Equa- 



Digitized by Google 



Summatio Serkrum. 6 3 



224-1 



/Equationem ad Scriem S2, cft Ti =— ~X-}-;X 2 "~f-~* } quo 
fubftituto in valore ipfius T3, provenit T3 = — - "X^-p^X-^-X 
— j_ 6 T2 : ubi fcribendo valores variabilium confequentcs pro antece- 
dentibus, orietur T'3 = — J-x ^~.X x l£~j~l T 2 » vel fub- 
ftitucndo pro T'2 fuum valorem, erit T'3 = ^X^~;X ~pj X 

2^fb x J x z^ x iz^J T2, Pcr valorcs Twmino * T3, & T3, 

1 1 5 

fi eJiminetur T2, refultabit zz^- -z T3 +3 T3 xzz+-f 2 + I4: ~ °» 

quse eft "quatio ad Tcrminos Seriei S3 •, eaque comparata cum illa in 

Theoremate exhibet * = *=o, '=^, </=i4» adeoque m = 

14 3 42-I-21 

» = — i & propterea '- x ^^.^ T 3 «"fr approximatio ad Scriem S3, 

five Terminus tertius Seriei tranfmutatae. 

Et fimili proceffu, poncndo Sj = ^X^r^Tj -f. S4, invcniea 

Terminum quartum effe ~X ^T 2 ° T4; exiftente T4= — j X 

780 
2 ' 2 ^- 7 'X s i 2 _i_ 8 X 2z4-9 Tj ' Ato « uc "dem omnino ratione Series 



tranfmutata ad libttum producetur. Sed jam Terminorum progreffio 
ap arec, exiftemibus 



■ 



T2 b X^jX^^jX-^T, 

T 3 = - r * ^ x dfi x ^+T T 2 ' 

T4 = — r x ~~~? x ~~pa x 27^ T 3» 

T 5 ^ X ~-~To X 2S + U X ~~~T2 T4 » 

&c. 



Ac 



6 4 Summatio Serierum. 

Summa decem Terminorum initialium eft 
3. i4«5-905. -0938.0800.9964.2 j & decimus primus fubftitutus pro T 

ac — pro 2, dant 

-f-T = .0000.0279.3565.0014.1447.8 

-7T2— 172.5274.8297-5 
+ T 3 = 1474.5938.7 

— 1 4 = 3.8136.0 

+ T5= 192.2 



— T6 = 



»•5 



.0000.0214.2791.3363.1 147.5 «0000.0000.0139.7472.6106.4 
1244.1885.8 3.3215.2 



171.7 



1.4 



+ .0000.02 1 4.279 1 .4607.3 205.0 0000.0000.01 39.747 5 . 93 23 .0 

Subduc jam Summam negativorum ab ea affirmativorum, & proveniet 
.0000.0214.2651.7131.3882.0, quffi addita aggregato initialium exhibet 
3.1415.9265.3589.7932.3846.2 pro vatore Scriei propofitar. Et hifcx 
Termini Scriei tranfmutatae tantundem efficiunt ac trigintaduo Seriei 
fimplicis. Sed horum Theorematum ufus latius patet in Scriebus lentif- 
fime convergentibus, ad quarum utique valores pervcnire non licet per 
meram additionem Terminorum. v 

- 

EXEMPLUM II. 

Tranfmutanda fit Serics 1 — 4-4-— — 1 4. & c cuill , 

4 1 9 «6~25 36 ' • cu J tw 

^quatio eft »T+«+,* +1 T'='o, exiftentibus 1, 2, 3, 4> , & c 
valonbus ipfius z ordinc fuccedcntibus. Hic erit a=o, b~o, /=2, 

J=i, r=i j unde »» = 1, »=0, & propterea^-x^T eft pri- 
mus Terminus Seriei tranfmutataj. 

Ut eruatur fecundus, finge S= ^x^±I T-f S2 } & per metho- 
dum Differcntialcm prodibit S- T = ^ x ^ T + Sz - T2 } qu* 

dedmfta 



Digitized by Google 



SummatioSerierum, $5 

dedufta de priore relwquit T=^-x^~T— ^ X-£p-*T'+ T2; ox 

qua inventetur T2 = - x -^— T + - X : fed ^quatio ad Scri- 

em S datT '=5Tqp^q-7» quo fubftituto, provcniet T2 = g-x 

T 

— — . Scribe jam valores variabilium confcqucntcs pto antecedentibus, & orietur 

22+2 T 

T'2= — 22 ^_ , X ^7» vel rurfus poncndo pro T' fuum valorem, 

T'2 =-X =->,- X "TT T - Per valorcs Terminorum T2 & T'2, ex- 

termina T, & habebis 2* +|- ^x Ti-fz 4 +^ 2 '+i 5 z'+i 42+4 x 
T'2, qua: eft .flJquatio ad Terminos Seriei S2: eique collata cum illa 

3 15 

in Propofuione, dat«=-, £=o, c — ~-> ^=15» r=1 > & pro- 

1 „ 2+? _ . _ 

inde » = 3, w=: ^"> quapropter eft £^pr T2 valor Seriei S2 quam- 

proxime, five Terminus fecundus Seriei tranfmutatae. Atque fuper 
hilcc veftigiis progrediendo ut in Excmplo fuperiore, invenies 

22+1 T 22+2 8T2 _ 22+3 27T2 

T2 = -^^.T 3 =-^X^ J .T4«-^ 2 X==T.*o 



S = ir T + ^ T2 +^-F2 T 3 + 2^ T 4+^ 

Vel ob faciliorem computum, pone 

-, « A _ 8B ^ 27C „ 64D 
A = T,B==p„ C=— , D== _ E==^, &c. 

Eritque S= ^ in*+7A — J^B+Z^C— ^D+^E— .&c. 

Summa decem Terminorum Seriei fummandae fub propriis fignis eft 
.8 179.62 17. 56 10.985 1.3. Tum ut habeatur Summa reliquorum fubfti- 



t 



va- 



tuc Terminum decimum primum, hoc eft, pro T, & pro z 

lorem fuum refpe&ivum, fciiicet 11 ; ac habebis 

S A = 



66 Summatio Serierum. ' 

EtS = ^ in 6A— 7B + 8C— 9D+10E— .&C 

Computus autem fic fc habet 

A=r .0082.6446.2809.9173.5 
B= 478.2675.2372.2 

C= i-74»5- 2 944-5 
D= 171.3604.0 

E = 3- 2 495-o 
F= 99 '7 

G = 43-6 
H= 26 
I = 

Deinde 

.0495.8677.6859.5041.0 .0000.3347.8726.6605.4 
13.9322.3556.0 1542.2436.0 
32.4950.0 1.0908.7 

5 2 3- 2 33-8 

— .0000.3348.0296.9983.9 



2.8 



.0495.8691.62 14.4073.0 

Differentia harum Summarum divifa pcr 11, dat S = 
.0045.0485.7813.1280.8, quae adjefta aggregaro dcccm initialium, con- 
ficit .8224.6703.3424.1132.1 pro valorc Scrici. Quumque hic nume- 
rus dimidium fit illius in Exemplo primo Propofitionis decimar re- 
perti; condudendum eft utrumquc computum re&e inftitutum fuiffe. 

EtenimScrics i_^-+^ — ^ + &c. ubi Termini funt alternatim 

negativi & affirmativi, dimidium eft hujus 1 + % - + l - + ~ + &c. in 
qua omnes funt ejufdem figni. 

ExEMPLUM III. 

Proponatur Series 1— j + 7+9" "~ 77 + &c - 1"* definitur 

jEquatione zT+I+i T =o, in qua valorcs Abfciffic funt ^ 

i 
2» 



Digitized by Google 



Summatio Serierum. 67 

p j-, &c. Et incundo computum juxta hanc Propofitionem, deve* 
nietur ad reguUm fcquentem. Pohe A = T, deindc 



1 _ * 
c — 7 Bx 2^F5 x ^r 



'■5 



D ~2 CX 22+ 5 X -^ t ' 

E = 7 DX ^ X ^' 
&C. 

Eritque S = ^ in H+TA— I - ^B-J-I— ^C— 7Z+T i V-\-7Z£n'E--&cC. 
Summa duodccem Terminorum in Serie propofita eft 
.7646.0069.1481.8329.5, atquc Terminus dccimus tcrtius = T, & 

2 = quibus fcriptis, habcmus A=-^ , 

2 25 



1.1.1 



B = A, B= 2 3 3 B, D=- 3 5 5 C, E= }' 7 ' 7 D,&c. 

D — 13.27.27 »" 14.29.29 i5-3»-3» 16.33.33 

ac S=^ in 13 A — 15 B + 17 C— 19D+ 21 E — &C 

A = .0400.0000.0000.0000.0 



B = 
C = 
D = 
E = 
F = 
G = 
H = 

.5 200.0000.0000.0000.0 
10.9694.91 74.0 
7.9306.5 
55-Q 

.5200.0010.9702.5835.5 



422.0744.96149 
6452.6422.0 
33.5725.4 
377 6 -5 

2.2 
1 



.0000.633 1 .1 1 7442 23.5 
637.8782.6 
1688.2 

27 

— .0000. 6331.1812.4697.0 

Dcin 



6$ SumnMi* Serlerum. 

Dcin dividendo differcntiam Summarum pcr 25, prodit S =r 
.0207.9747.1915.61^53.5, quae una cum aggtrgaco initialium conficit 
.7853.9816.3397.4483.0 pro valore Scriei fummandae. 

SCHOLtON. 

■ 

Sicut una TEquatio definit Series numero infinitas, ita una Tranf- 
mutatio infervit Sericbus numeio infinitis : Et unumquodque Exem- 
plum pro Thcoremate cft habcndumj fic Tranfmutatio in ultimo Exem- 
plo infervit Scrici gcnerali 




Obfervandum eft legem continuandi Serics per hanc Propofitionem 
tranfmutatas, non fcmper fe prodere ut in Exemplis quae l.icelegi: 
hoc vero neutiquam incommodabit opus» N«m poftqium colliguntur 
lex circiter Terrnini Seriei fummandx, tres vcl quatuor Seriei trunfmu- 
tatse dabunt qusefitura fatis accurate pro ufibus quibufcunquej in praxi 
enim raro opus cft continuare comptitum ultra novem aut decem figuras. 
Atque eodem res rcdit, five Termini Serici tranfmutandae fint iiidem 
vcl contrariis fignis affefti, fivc finc vcl non fint afiignabilcs. Labor 
enim femper erit levis, prreterquam ubi in /£t|uatione ad Sericm, qj-ui- 
titas r eft negativa & fimul proxime sequalis unicati; ui fi fit ; = 

— , vel =_ — 22. y computuscric luboriofus. Sed hofce c-fiis facilc 

eviwbit Analyfta pertcus, quibus igitur rcmcdium proferre non eft ope- 
rx pretium. 

Adjungerem quoqua nonnulla de Scricbus hujufmodi 
x ' 2 ' o 1 24 1 120 ' 

Ubi Termini in infinicum produtti non habent datam rationcmad fe in- 
viccm, ut in Scricbus de quibus hndtenus egimus, fcd antccedentcs funt 
mfinitc majores confcquentibus. H:e cxhibcnt Numerum ex dato Lo- 
gariihmo, vel Sinum ex dato Arcu, & funt fui generis fimpliciflima?. 
Tranfmutari poffunt pcr principia in fuperioribus pofita cneterum res 
commodius abfolvitur abfque Tranfmutationibus. Ut in Seric x-\- 

~ x* -\- g- x» -\- x 4 -f- 5cc. quae exhibet Numerum cx dato Loga- 

rithmo 



Digitized by Google 



Stimmatio Serierum. 6) 

rithmo x, fi eflct x — 12.3785, rejicerem Characterifticam 12, & quse- 
rerem Numerum Logarithmi .3785 qui prodiret in Serie celeriter con- 
vergente ob Logarithmum jam unitate minorem ; quo dato non lateret 
Numerus Logarithmi 12.3785. Et eodem res redit five Logarithmus 
fit Tabularis five Hyperbolicus. 

Et fimiliter in quserendo Sinum ex dato Arcu, fi idem major fit Qua- 
drante, fubducatur ex Semicirculo, & manebit Arcus Quadrante minor 
cundem habens Sinum ac prior, utique ejus fupplementum ad Semicir- 
culum. Arcus autem minor Quadrante dabit fuum Sinum in Serie ce- 
lcriter convergente. 

Series quse definiuntur &quationibus quae involvunt tres vcl plures 
Terminos Seriei poffunt fummari accurate vel quamproxime ex Analyfi 
fupra tradita : fufficiat autem hujufmodi computationum jecifle funda- 
mentum & aperuifle viam aliis quibus eft otium cVanimus hac de ma- 
teria plura fcutari. Sed ne omnino neglecta videatur, dabimus Theo- 
rema generale-jx principiis Moxvrai, quod tam ad Summationem quam 
ad Tranfmutationem hujus generis Serierum extcnditur. • 



PROPOSITIO XIII. 

Jn Seriebus ex Divifione ortis f eadem eft relatio inter Terr 
minos ac Summas fuccejfivas. 

Sit Fra&io i " * » Quae in Seriem rcfoluta eft 

l +2x+$x'+zix 1 + 5 5x , + &c. Tum Summae fucceffivje erunt 



1 J 3 s+x* = '+3H-8« , +-»*'+55*«+'44* f +&C' 

i- 3 T+x» = 8*'+2'* 5 +55* 4 +i44*'+&c. 
1=^5 = »*>+SS*<+W+&c. 

&c. 

T Et 



70 Summatio Serierutn. 

Ec fenfus Propofitionis eft quod hae Summae oodem numero fumptse 
eandem ubique habent relationem ac Tcrmini Seri»i totidem numero 
fumpti. txcmpli gratil, in cafu praefente relatio inter tres quofvis 
Terminos ordine fucccdcntes erit xxT — 3xT'-}-T" = o : atquc ea 
dc caufa rclatio inter tresSummas fucceffivas erit etiam .vxS — 3*S'-f- 
S" = o, ut expcricnti patebit. Tropofitio vero fic dcmonftratur. 

Sint r, j, / dattc quantitates, & affumatur iEquatio ad Summas rS-}- 
jS'4*/S"=o, dcin fubftkuendo valores variabilium fuccedentes pro 
pntfentibus, habebitur rS'-4-jS"-j-/S"' = o, quae fubducla dc priori, 
rclinquit rS— rS'+jS'— jS"-f /S"— /S' w =Oi in hac fubftitue T pro 
S— S\ Tpro S — S\ ac T pro S* — S~, & proveniet rT-f;T-|- 
/ T"=o. Et hsec eft eadem rclatio ac ea Summarum primo affump- 
ta. Et fi plurcs vel pauciores fint Summar, codem prorfus modo Pro- 
pofitio demonftrabitur. 

CoreUaristm. Hinc hab«mus methodum fummandi hafce Series ex 
.daca relationc Termiiiorura \ ut fequentibm Esemplis fict manifeftum. 



ExiMPlUM I. 

Detur iEquatio ad Terminos rT«|-jT=o, & per hanc Propofitio- 
ilem crit etiam eadem rclatio Summarum, utique rS-]-jS' = Oi pro 
S' fubftituc fuum valorcm & — T, & orietur rS+jS— jT=o, un- 

de fit S =jrpT. Quare datur Summa S «c dato ejus primoTer- 

mino T. Ut fi Series fic 

i+7+7»+7. + *- + 7« + &c - . 
cujus JEqoatio eft 2 T— xT = o, erit r=«, s = — x ; quibus fcriptis, 

prodibic S = ^^- T, vcl S=~T. Subftituatur jam -quifibet Tcr- 



x 

minus pro T, & £^T erit Summa ejus & omnium fequentium ufquc 



minfinitum. Sit TaequalisprimaTermino nempe unitati, & habebi- 
x — i 



tur — pro valore totius Seriei. 



Exemplom IX 

Adeundem modum fi ^quatio ad tres Terminos fit rT-\-sTJt- 
/T = o, rclacio Summarum cric rS+jS'-}-/S"=0} in qua fcribcn- 

do 



Digitized by Google 



Summatio Serierum. 7 j 

do S — T pro S', & S— T_T pro S", emergct rS-f-;S~;T-f- 

r+TT I /T 

/S— ./T — /T = o, & cxinde S='-^|^j— -: adcoque datur S ex 

datts duobus Terminis. Sit Series fummanda 

i4-3*-}-8x*-f-2 ix-*-f-55af*-f-t44Ar T -f- &c. 
in qua relatio Tcrminorum cft xxT — 3*T'-|-T* = o, hinc eft r=.v*, 

j= — 3*, /=i; quibus- fcrjptis, habebitur S = 7~~ j x i xx • Subfti- 
tue jam primum Terminura pro T, & fccund.um pro T, 6r prodibit 

1,.^ P ro va,ore S * riei - 
Similiter fi ^quatio ad Terminos fit rT-fiT-f /T"-ft;T"=o, 

erit S = '^^^pj ^^ • Et fic deinceps quando relatio cft 
inter plures Terminos. 

i 

ScBOLIQN. 

Notandum reiationem Terminorum quae variabilis cft, eo propius 
accedere ad invariabilem, quo magis Termini recedunt ab initio, & 
tandem in diftantia infinita evadere pmnino invariabilem ut in Seriebus 
cx Divifione ortis. Atque hanc appello ultimam rdationem Termino- 
rum ad quam relatio eorum continue approximat, nunquam tarmen 
perveniet accurate priufquam Termini remoti fueriat infinico intervallo 
a principio. 

i^Equatio autem D^fTerentiiilis definiens Seriem, rejiciendo dignitates 
Abfciflae omnes prseter akiflimam, & per hanc dividendo ^quatio- 
nem refiduam, dabit ultimam relationcm Tcrminorum. Proponatur 

jEquatio xxT x **-B* = T'x«— 5*4-*» rejice oranes dignitates Abfcif- 
fae iofra quadratum. & mancbit *#Tzz = T2z, qua: divifa per zx t 
dabit xx T =T. Et haec eft relatio ultima Terminorum. 

Ultima autcm relatio, quum conflans fit, fuppeditat methodum fum- 
mandi Serics quamproxime, in quibus relatio Terminorum eft varia- 

bilis. Si detor /Equatio quavis rTx -f-jT'x«+«4-i =o, 
ultitna rtlatio Tetminorum erit rT-|-;T=o, undeS=j7pT 

quanaproximc. Hsec iEquatio obtinet accurate quando Terminus T 
infinite diftat ab initio, & proxime quando diftantia eft notabUker 

magna. Similitcr fi yEquatio fit r T x ~H + * T 'X *~f~' + ' T rt xZ^, 

ultima 



7 2 Sttmmatio Serierum. 

ultima relatio erit rT -f iT'-}-/T''=o, & S = ^ TT^ TT" P rox ' me « 

Adeoque colligendo aliquot Terminos initiales, priufquam inchoatur 
computus, Summa reliquorum habebitur proximc per hanc methodum. 
Ex iifdem principiis etiam corrigere licet approximationem continue- uc 
jn Propofitionc fequente. 

Propositio XIV. 

Omnis Series A-fB-fC-fD-fE-f &c. in qua ultima 
relatio Terminorum eft rT-f *T'-f *T"=o, ajjti- 
mendo n=r-\-s~\-t, &? fonendo 

A2=rA-fiB-f /C, A3=rA24-jB2-f-/C2, A 4 =rA3-f jBj-f/C^, 
Bz=rB-f jC-(-/D, B3=rB2+jC2-j-/D2, B 4 =rB3-f,C3 +/D3, 
C2=rC-fjD-}-/E, C3=rC2-j-jD24-/E2, C 4 =rC3-f jD3-f /E3, 
D2=rD-J-jE+/F, D3=rD2-fjE2-4-/F2, D^^rD^-f ;E3-f /F3/*' 
E2=rE-fiF-|-/G, E3=rE2-f iF2-f/G2, E 4 =rE3-f ^3+ /G3, 
&c. &c. &c. 

bipartitur in fequentes 
. A A 1 A» A 4 A r 

, . B , B2 Bi , B 4 , B5 

Per hanc itaque Propofitionem, Series in qua ultima relacio Termi- 
jiorum definitur iEquatione involvente tres Tcrminos, tranfmutabitur 
in duas hic exhibicas: quarum tamcn prior evanefcit ubi eft j-f / = o. 
Si relatio fit intcr duos tantum Tcrminos rT-f jT' = o, erit / = 01 
eaque de caufa, evanefcct Scrics poftcrior, & ea qua tranfmutanda 
proponitur, migrabit in unicam ; quo in cafu particulari coincidet hscc 
Propofitio cum Theorcmatc a D. Monmcrt invcnto. Si relatio fit in- 
ter plures Terminos quam in hac Propofitione, Series tranfmutanda 
mtgrabit in plures Senes. At in omni cafu res erit manifefta cx eo 
jam exhibito. Et nolim amitterc fimplicitatem, affectando njmium 
paucis complccU 

- 

EXEMPLUM 



Digitized by Google 



Summatio Serierum. 7 3 

ExEMPLUM t 

Proponatur Series i-f4x+ 9 x*-t-i6x } +25x 4 -|-36x f -f- &c Ubi co- 

cfficientes funt quadrata numerorum naturalium: ^quatio differentialis 

eft xTx«+"-r-« — T'zz=o, & exinde ultima relatio xT— T'=o> 
adeoquc r=x, j=— .1, /=o, «=x— .1 j atque 

A=i, A2=— 3*, A3=2x', A4=o, 

B=4X, B2=— 5 x», B3=2x», B4=o, 

C= 9 x«, C2=— 7 x J , C3=2X», &c. 

D=i6x», D2=— S x\ &c. 
E=25x«, &c. 
&c. 

Omnes igitur Termini poft A3, evanefcunt ; & fubftituendo hofcc 
valores, Series tranfmutata fit 

Et hi tres Tcrmini in unum collefti dant pro valore Seriei. Quod 

fi mutetur fignum ipfius x tam in Serie, quam in ejus valore, habc- 
bitur 

|^?=i— 4X+9X»— i6x'+25x*— 36x'-f&c. 
Et inde etiam 

!^gt£=i+ 9 x*+2 5 *«+4 9 x<+8ix'+ &c. 
id quod colligi poteft direfte ex Propofitione abfque hifcc ambagibus. 

EXBMFLUM II. 

Proponatur Series i + 8x+27x*+64x , +i25x 4 +2i6x t +&c ubi 
Coefficientes funt cubi numerorum naturalium : & ^quatio ad Scriem 
eft xTx* , +j«. , 4-3*+i — TV = o j adeoque ultima relatio xT— T=oj 
& indc r=x, ;=— i, /=o, n=x—i j & 



74 Summatio Serierum. 

A=i, Al=—-jx, A3=i2*», A4=— 5x», A5=o, 
B=8x, Bi=— i 9 x», B3=i8jf«, B 4 =—6*% B 5 =o, 
C=27*», C2=-_37x } , C3=24*% C4=— 6x', & c . 
D=64*', D2= — 61**, Dj=3ox', &c. 
E = i25**, Ei=— jix', &c. 
F=2i6x', &c. 
&c. 

Hic evanefcunt Termini poft A4-, & valores fubflituti in Theoremate, 
danc 

i 7 x 12 x 1 6x l 

— 1 in — r — " — ii -r =rr— - - ■» < 

x— .1 x~ p* 1 J~?' x— i 4 ' 

I «+-4X-1-X * 

& hi quatuor Termini colle&i in unum dant --_-^ 4 ■■ pro valore 
SerieL 

EXEMPLUM IIL 

Detur Series fummanda i— .6x-4-2 7 x' — io^x^-f^fix 4 — ,i2i2x r 4- 
3842X'— n 7 84x , -{ r &c. quas definitur ^quatione xxTZ^-^xTrtl 
— T"2 = o, evadat jam z infinite magna, & ultima relatio erit xxT— 
2xT— T=o: hinc fic r=xx, j=— 2*, / = —1, j»=xx— - 2x— 1 } atquc 

A=+i, A2= — i4x«, A3=4-29x«, A4=o, 

B=— 6x, B2=-|-44x», B3=— 70X', B4 =0, 

C=+2 7 x», C 2 =_ 13 ix*, C 3 =+i6 9 x«, &c 

D=— 104X 4 , D2=-j-3 7 6x 5 , D3= — 4o8x T , 

E=-f- 3 66x 4 , £2=— io 5 2x% &c. 

F=— I2I2X', F2=-|-2888X', . 

G=-"-3842x', &c 
H=— 11784X' 
&c. 

Subftitue jam hofce valorcs pro A, A2, A3, B, B2, B3, atquc Series 
propofita tranfmigrabit in fequentes duas numero Terminorum finitas, 

_7TvTin 2 9*\ 

^ XX— 2X— I xx-ix-^i*^ xx-xx-X* 1 



■— 6x 44x» 7ox' 

XX— .:x — I ' xx-ix—t 1 — xx—lx—, sl * 



Quae duse in unam Summam collea* dant t ^J_ xx , t pro valore 

Serici. Ad eundem modum Theorema appiicatur ad Tranfmutationem 
Serterum qux fummari nequeunt. Dcmonftratio autem ex fequcntibus 

fiet 



Digitized by Google 



Summatio Serierum. 7 5 

fiet manifefta. Sit Fraflio quarcunque -^'^*'^*- > «U«» Nume- 

rator fit quantitas conftans ex membris quotcunque, quorum tamen 
numerus eft determinatus. Sit vero ejus Denominator dignitas quae- 
libcc quantitatU, qu* etiam conftatur ex membns quotvis Numero fi- 
nitis. Tum quicunque fic index », fi Fractio refolvatur m Senem, ea- 
dem femper erit ultima relatio Terminorum, ac fi Denominator fuiffet 
fimplcx poteftas v-f /x+ix , + r *'- In ^nc igitur fi Series continuc 
mLilciplicctur, faftum tandem abrumpet, fi fit » integer & affirmati- 
vus • hoc eft, fi Scrics fummabilis fit per fimplicem ^quationem. 

Proponatur Serics 1—6*4-27*'— i04*»-f366*«— &c. in qua ulti 
ma relatio Coefficientium eft A — 2B — C=o } fumo quantitatem - 



2*— .1 vcl mutatis fignis, 1-+-2* — **, in qua Coefficientes iidem func 
ac in ultima relatione, & concludo Seriem propofitam, modo fumma- 
bilis fit aequalem effe alicui Fraclioni cujus Denominator eft Dignitas 
qu*darn quantitatis 1+2*—**. Ergo pono S=i— 6*4-2 7* 104*» 
4I366* 4 --- &c. &duco utramque partera in i4-2*— xx-, atqueprodic 

o - x _- =I _^yJ-i4*' 44* 1 4-i 3 ix 4 — &c. quam quoniam non- 

dum abrumpit, iterum duco in eandem quantitatem, & habeo Sx 
j-i^^j.— i_ 2X4-5* 1 — 12*'4-29* 4 — &c. dein tcrtia vice mulci- 
pHcaw candem, obtinco SXi+x^'='i Tcrminis omnibus poft 
primum evanefcentibus. n. 

feitur palameft hanc Propofitionem nihil ahud praeftare quam me- 
thodum compendiofam multiplicationis, & fimul difpofitionem Ter- 
minorum in Seriebus tranfmutatis quae efficit celerem convergent.am 
quando non abrumpunt. Quarc Dcmonftratianem Leaori indagandam 
relinquo, quse quidem eadem fere eft five Denominatores finc trmo- 
miaks, quadrinomialcs auc plurium nommum. 

Propositio XV. 

lnventre Mquationem five Algehraica five Fluxionalis fit, 
cujus Raatx erit Series qwecunque data qua definttur 
JEquaitone in qua Termini Sertei fmt untus tantum 
dimenftonis. 

Scrics datur ex datis aliquot Terminis initialibus & fimuHege for- 
mandi reliquos: ex hifce autem datis uivemetur ^quatio habena Scri- 
cra illam pro Radice, id quod pcr Exempla fequcnoa intclhgetur. 

EXEMPLCM 



7 6 Summatio Serierum. 

EXEMPLUM I. 

Invenire JEquationem cujusRadix eft Series A4-B*-J-C*'+Dx»4- 
Ex 4 +&c. in qui relatio Cocfficientium eft conftans, fcilicet r4+ 
jB+/C+i>D=o. Quoniam relatio eft invariabilis, concludo Seriem 
jequari Fraftioni rationali, quam fic eruo. Fingo y jequalem Seric datse : 
& fumendo indices relationis r, s t /, v, in ordine inverfo, duco y ejuf- 
quc valorem fucceffive in v, tx t sx' t rx', atquc provenient 

vyz=vA-\-v Bx-{-vCx *+i>Dx *-\-vEx*-)-vFx '+ &c. 
/*)= /A*+/Bx'+ /C*'+/D*«+'E*'+& C . 
sx*y=z jA*'+;B*'+jC**+/D*'+&c. 

>-A*'+rBx«+rC*«+&c. 

Scd ex fuppofitione, eft rA+jB+/C+^D=o, rB-f-iC+/D-U-E=o 
& fic in infinitum. Unde evanefcunt omnes Termini in quibus x eft 
plurium quam duarum dimenGonum ; adeoque rcftabit 

vj-\-txy+sx*i+rx*y=vA ' bL». 

Qu« eft ^quatio determinans valorem Seriei. Exempli caufa, fit 
A=2, B=— 3, C=7, r=3, ;=_ 7, /=6, t,— 4 . & evadctjEquatio 

EXEMPLUM II. 

Invenire Asquationem quae pro Radice habeat Seriem 1—— *» + 

8 16 128 2«6 3 
'1" " ,1''+ iii 4i"-+ te - ta 

tium funt 2A4-3B=o, 4B+ 5 C=o, 6C+ 7 D=o, 8D+ 9 E=o, &c 
In hocExcmplo^quatmqiafita involvetFluxioncsprirnas, quoniam 
aumcn ia rdauonibus funt sequi differentes. Affume crgo 

>=A+ B*'+ C*«+ D*«+ E*'+& c . 
erit *}= 2B*«+ 4 C*«+6D*'+8E*"+ & c . 
y+xy= A+3Bx»+5Cx*+7Dx«+9E*«+&c. 
2x»j+x'j=2Ax'+ 4 Bx*+6Cx < +8Dx'+&c. 
Adjiciatur nunc ultima JEquatio penultimae atque prodibit 



Digitized by Google 



Summatio Serierum. 7 7 

... +2A} +4BV +6CV 4 +8DV , , , 

Sed ex hypothcfi relationes Coefficientium funt 2A+3B=o, 4B+ 
5 C=o, 6C+7D=o, &c. ideoque Termini omncs poft primum A e- 

vanefcunt, & rcftat -ffiquatio finita j+xj+2x*)+x 'j=A=i, five 

yX 7^5+xjxTtS=i : fubftituta fcilicet unitatc, five primoTer- 
mino Scrici pro Coefficiente A. 

EXBMPLV M m. 

I 3 

Invenienda fit JEquatio cujus Radix eft Sertes 1 — -x» — *« — 

-^- x*—&c. ubi relationcs Coefficientium funt 

256 2048 

— 1.1A— i.iB=>, 1.38—4 40=3, 3.jC-C.6D=o, j 7D-8.8E=o, &c 
Vd — A— 4B=o, 3B— i6C=o, 15C— 36D=so. 3jD— «^Fssj, &c. 
In hoc cafu JEquatio defiderata neceflario involvet Fluxioncs fecundas, 
quoniam numen qui indicant relationem Coefficienttum, funt duarum 
dimenfionum, five factt fub numeris aequidifferentibus binatim furop- 
tis. Sit itaquc 

y=A+Bx«+Cx«+Dx«+Ex'+ &c. 
j = 2Bx+ 4 Cx'+6Dx'+8Ex*+ &c. 
xy = 2BX+1 2Cx»+3oDx'+56Ex'+ &c. 
j+xj *= 4 Bx+i6Cx'+36Dx'+64Ex'+&c. 
x » y_L.,' j— x } =— Ax+3Bx'+i 5 Cx'+3 5 Dx'+ &c. 
Denique fubducendo hanc ultimam^quationem de penultima, manebit 

hoceftxj— x'-+'_x>j+x } =o, vcl j+xj'+ ^£- = 0. Nam prop- 
ter relationem Coefficientium, omnia membra ex una parte ^quatio- 
nis evanefcunt. 

EXEMPLUM IV. 

Quxratur JEquatio, cujus Radix cft 1 +~ Ax 1 + j- Q Bx« + 4 C* :* 

x +E1 



7 8 ownfHMio oetwrttm. 

4_^?bx , 4-&c. ubi relationes Cocfficientium funt A — iB=o, 9B— 

T 64 1 

j'6C=o, 25C— 36D=o, &c. Finge 

j^A+Bx^+Cx^+Dx^+Ex^+Fx' * + &c. 

Erit 3= 2Bx+ 4 Cx'+6Dx<+SEx'+ioFx' + &c. 

ac x>= _Bx+i2C*'+3oDx«+ 5 6Ex*+ 9 oFx'+&c. 

Dein per computufn inverfits 

x^x^+x^Ax+^Bx^+JsCxf+^pDx^+SiEx' + &c. 

j+xj=4Bx+i6Cx»+36Dx'+64Ex'+iooFx' + &c. 

- Harum /Equationum pofteriorem fubducito de priore & habebis 

+ &c. 

Etinde propter relationem CoefBclentiam, iEquatio crit x)=jm-3*x+ 

■ ■ m 
X)»t—XX. 

EXEMPLUM V. 

Quaeratur JEquatio cujus Radfac eft x+^- x* + ^ x' +-^*« + &c. 
nbi Denominatorcs funt quadrata numerorum 1, 2, 3, &c. Aflume 
, = x+ix' + ^x»+lx^+^+&c. 

Erit *y=x+^x' + jx'+^x« + ^x' + &c. 

Cujus Fluxio eft 
xj+y = i+x+x , +x'+x 4 +&c. 

hoc eft xy+y^^—. 

Similiter fi Series fit *+^*'+ — x'+ ^x 4 + &c. ubi Denomina- 
tores funt Cubi, invenies ^quationem efiTe j+3xy+x'y= j. 

Et fi Serics fit x+ ^x'+^x' + ,^^ 4 &c.cxiftentibusDenoranu- 

toribus 



Digitized by Google 



Summatw Seritruw* 19 

X 

toribus biqaadratis, prodibir .«quatio /+6*y-f 7X 1 j'4-.v'y 
Et fic deinceps. 

Sch OLI o N. 

Eac drt» igitur relatione Cocfficientium, Series reducuntur vcl ad 
Frac~tiones veYad Fluxiones, idque eadcm prorfus facilitate in omnibus 
cafibus; fivc Series determinerur pcr relationem plurium vel paucio- 
rum Tcrminorum. Nam quoniam fumendo Fluxionem Seriei, Termi- 
ni ducuntur in indices digniutum, qui femper funt aequidirTerentcs; 
& rurfus in alias quantitacesa-quidirTercntes, fumcndo FJuxioncs fecun- 
das ; & fic porro, formare licet bac rationc relutioncs Tcrminorum 
qujecunque fint, infiftcndo veftigiis mox traditis. 

Ad fummationem autem pcrfedtam oportct FJuxiones reduci ad Flu- 
entes; quod ubi fieri nequit, concludendum eft, Scricm dc qua agitur 
non cfle ex ipfarum numero qus fummari poflunt. Multum autem 
confert ad promovendam hanc doctrinam uc Summationes reducantur 
ad Fluxiones, quoniam mcthodus regrcdicndi a fluxionibus ad Flucntcs, 
licct imperfefta fit, eft umen melius nota & magis exculca quam ea re- 
grediendi a Diflferentiis ad Summas. Sed & altera altcri mutuo pracbe- 
bit opem: Flucntes enim fi invcniri poflint, cxhibcbunt Summas; vel 
e contra Summae invcnta: dabunt Fluentes. 

Ex Propoficionibus jam traditis, aliifque ex Hfdem principiis facile 
deducendis, invenire licec Radicem ^iquationis cujufcunque accuratif- 
fime in numcris modo reducr poflic in Scriem fimplicem, etiamfi len- 
tiflime convergentem. Scdetiamnum rcftat difHculcas, fi ncque Series 
cito approximec neque Gt rclatio Terminorum fimplex & idonea quae 
definiatur ^quatione differcntiali. Quippe fi in iEquatione refolvcnda 
reperiatur Radix ejufve Fluxiones plurium quam unius dimenfionis, vel 
fi in fe mutuo multipliccncur ; & hujufmodi membra nequeant elimi- 
nari: in iis inquam cafibus Radix non cft rcducibiJis in Sericm fim- 
plicem cocnpofitam ex dignitatibus Abfcifla?, falccm per artcs mihi 
ha&enus notas. At dignitates Abfciflse utcunque altae fint in ^iquati- 
one refolvenda, nullatenus obftant fimplicitati Seriei. 

Sed hac oblata occafione, conabor tollcre difHcultatem haftenus in- 
tactam, quse tamen in reductionc ^quationum Fluxionalium maxima 
eft Sciendum igitur eft eas JEquationes Fluxionalcs qua; invoJvunt 
omnes conditiones Problematis, ideoque detcrminant omnes Coeffici- 
entcs in fuis Radicibus, refolvi pofle perinde ac JEquationes litcralcs 
afie&ae, idque per regulas a Newlono dudum traditas. Attamen ple- 
rumque fit /Equationcs non determinarc omnes CocfBcicntcs Tcrroino- 



80 Summatio Serierum. 

rum in fuis Radicibus; fcilicet quoniam quantitates conftantes evanef- 
cunt & omnino amittuntur ex Aiquatione tn progrefiu a Fluentibus ad 
Fluxiones. Sed & variis modis evanefcere folent prout Fluxio fumitur, 
id quod Excmplo declararc libet. 

Proponatur JEquatio y=:a>+bx+- i & fl ue nte * uniformiter, 
atque fcripu unitate pro ejus Fluxione > habcbitur per Mcthodum di- 
redlam 2 *>=*+--- : cujus Radix per methodos Newtoni extractt, 
eadem erit ac Radix Fluentis y> =**+£, idque propter quantitatem 

ca jam amiflam. Et hoc in cafu non determinatur primus Terminus 
Sexiei, qui utique pendct ex evanefcentc quantitatc aa. 

Similiter fi ^quatio propofita prius dividatur per *, exibit - = 

X 

-^ + ^cujusFJuxiocfi^^^^^f+^ vd 

in x\ ixyy-y*=~aa+¥l. Et hujus Radix pure fumpta ea- 

dem eft ac Fluentis, y' =a' + Quo in cafu non determinatur 

fcctmdus Tcrminus Scrici, qui dependct ex Cocfficiente b nunc a- 
ouua. 

Dcnique fi ^quatio fluenj dividatur per x\ habebitur - = - 4. 
1 x* ' 

- + I & exindc Fluxio erit ^ — _ 3* . 

4? » --4^-3^;. quse rcfoluta per regulas vulgarcs, eandem da- 
bit Rad.cero atque Fluens y'= a>+bx : adeoque Terminus Seriei quin- 

" "° n H - ?atet 

2 *J7— 4>'=— 4<w— 3** 
provonire ab unici fluentc ,« = «+»x+l* : per primam Tcrminu. 
primus Serici non determinatur ; pcr fccundam dcterminatur primus at 



Digitized by Google 



Summatio Serierum. Si 

non fecondui Terminua \ per ttitiam den ique dcterminantur primi qua- 
tuor Termini Seriei, ac quintua relmquitur. tndecermioacus. PoiTuct igi- 
tur diverfse JEquationes fluxionales provcnire ez eadem fluence. Sed 
methodus refolucions non erit perfedta priufquam in poteftace fuerit 
exhibere omnes Radices diver&rom fluentium a quibus Fiuxio qusevi; 
propofita ullo modo pervenire ppfiic. Nam nccefle eft habere racionem 
qu.intitatum quae vel afcu evanuere vel evancfcere pocuerunc. 

Ecenim non licet excrahere Radicem ex JEquatione fiuxionali can- 
quam nulla quantitas evanutfTec, dtftn addere quanticatem datam fluenti 
inventae ut in Quadrature Curvarum. Termini utique indetcrminati 
fepiflime ftint quantitaces invariabiles : & additio Quantitacis datse 
Radici invencas non acquipollet addicioni Quanckacis /Equacioni re- 

folvendae. Sic eadem Fluxio 2 yy = * 77 provenire poceft ab ucra- 

x 4 ** 

vis fluencium yy = aa-\-bx-\-— t vel yy = fof-f ' T, » ^^um camerr 

cc cc 

Rldices ibrtiuntur ibrmas omnino diverfas, fcilrcetprior A-{-Bx-f-' 

Of^-f&t pofterior A* i -^B**-fC**-f-&t. 

Infuper fieri poteft jEquacionem fluxionalem involvere omnes Coeffi- 
cientes quas involvh fluens, & .hoc non obftante, Tcrminos omnes non 

x 4 

determinari, ut in Exemplo fequence. /Equatio-y' =aa-\-bx-\-— 

A.X* 

exhibet dire£ce Floxtonem iyy =zb-\-~ — : quas fi dncatur in y, eva- 
det 2 y* j= by -j — — - j & deln fubftituatur pro yy fuus valor aa-\- 

bx+j £l tandem habebitur 2*^+2** j + ^ = by E t 

haec eft iEquatio fluxionafis.involvens omnes CoefEcientes quas invol- 
vit ejus fiuenst io qua nihilominua primus Terminus Seriei non deter- 
minatur. Idem etiam ubique eveniet nifi adfit membrum in &quati- 
one quod nec involvic Radicem neque ejus Fluxionem quamlibet. 

Sunt & alias difficultates quamplurimae haud minoris momenti, quas 
faciie quivis percipiec multiplicari in Fiuxionibus inferiorum ordinum : 
nam in Fluxionibus fecundis, Termini duo ab invicem neutiquam pen- 
dences poffunt tfle indeterminati; & tres in tertiis 1 & fic porro. Car- 
terum accidit haud raro omnes Terminos determinari ex jEqaatione e- 
tiam involvente Fluxiones inferiorum Ordinum. Et omnia quas hic 
dida funt de Fluxione cujus fluens nota eft, etiam vera funt de Floxioni- 
bus quarum flucnccs funt ignoue. 

Y Radix: 



I 

8s Summatio Serierwn. 

Radhc jEquationis cujufconquc *ft quanritaa, qu* Jcripta pro Ikeri 
denotante Radicem, efiktet omoes Termino* ^quttionu refilttotis 
evanefcere. Termini autem duobits cantum roodis poffutit evanefctre, 
vcl per fignorum contrarietatern in memfar is bomologis, vel etiam ubi 
reperkur quantkas conftans in ftuojcet cadem enim nulium relinquic 

veftigium in Fluxione. Ut fi fit j=Ax»i erit j = »Ax«-*, j = 
m—» Aj(*'~ i i fi fit »3 0, evanefcet valor Fluxioius primae; fi fit 

fjp nyn»r> ( id eft, »sco, vel »=i, evanefcet valor fecundae; idque 

ablque aiiis inembrU bomologi* quaj ea$ deftruere poflint. Et haec 
func principia per que enodanie funt d/fficultatcs univerfie quae occur- 
runt in refolutione ££quatiom»m fluxionahum. 

Proponatur ^quatio refolvenda r *j* = r'i vel pofitauni- 

tatc pro x, r J j'=r* — y*. Per paraUelogrammum vel alias Ntw~ 
tx>m mcthodos, invenies Radicem 

*~ h + T^F - ~^Sr~* + &C * 

Hujus cnim quadratum fcriptum pro & Fluxionu quadtatum pro 

y* cffieiet omnia membra ^Equationis refultantis fefc deftrucre per 
ronrntrietatcm fignerum. Videcmus autem an alia fit radix quse hoc 
modo inveniri nequcat. Illum in finem finge Ax" effe primum Ter- 

minumSeriei, five y = Ax- proxime; eritque 'y = nAx— »; adeoque 
5 , 3=* , A , **»-*, 8e y»at= A»*" i qutbus fcriptis, rerultau^A***^*^ 
»*_A*a; 1 % vcl duccndo totam in x*. 

h*r* A*x* , = r*x*-—A* **"+». 
Ubi patet membrum «'r^A** 1 ' evanefcere quando cft «=o: fubfti- 
tuatur ergo o pro », & evadct iEquatio 

ox»*A*** n=r*x*— A*a» 
hoc igitur in cafu evanefcit membrum r» A*x" in quo x eft minimaram 
dimenfionum : eaque de caufil erit Ax*, five conflans quantitas A pri- 
mus Tcrminus Sertei eo citius convergentis quo minor eft x. Atque 
huoc computum prof equendo invcnies p er mcthodos vulgarcs 

y = Ax i — — + —< — j^p -j- &c. 

Sed quantitas A cx ^quatione FjuxianaJi non determinarur. Quod fi 

JEquationis i * >» = r* — )*, capiatur Fluxio habebitur 2 r ' y j= —iy y 

vel dividendo & tranfponendo ; * j + ? = <>• Ponamus jam cffe >=A.v\ 

1 erit 



Digitized by Google 



Suwtuttifi Smmm. 83 

erit y=»Ax—«, *'y'*ckfr=3A«*-», qofblu fobftitutis, prodit 
^r^X'"* Ax^^-f-A»"*:©» ubi patet widicem »—.2 non comparari 
pofle cutn indice »; & proinde nullam Radicem ilU methodo emi 
poHe. Attamen ponendo Coefficientcm »» — » = 0, habebitur » = o, 
& » = 1 ; adeoque potcft A vel Ax efle primus Terminus Sertei, uti 
prius invenimus. • 

Prior Series dat Sinum, & poftefior Cofinum exdaCo Arcu*. Eftque 
Cocfficiens A in pofteriorc xqualu Radio r. Etenim five ponas y pro 

Sinu vel Cofinu, femper incides in anEqOationem r 1 y* s=r*~. y* y quse 
nulla R&dice explicabuis eft pTSeTer dua* jam exhibttas. E* hoc autcm 
Exemplo notife lictrformam Seriei-femper dcTCfminatamcifc exiEqt»» 
tione, otiamfi Ceefficientcs non d««rmiaentur. Et ubi Coefficiens cu- 
jufvis Tertnini non dete«ninatur, ifldex ipfias x in eodem femper in- 
venietur ponendo mcmbfum xlrquod jEqaationii rvfultantis a;quaJt nihi- 
lo. Ubi v*ro Coefficiens Termini detcrminatur, index ipfius * in eo- 
dem invenitur per companuionem duorum indicum in &quatkrac re«i 
fultante, idque pcr rcgul» NevMoni. 

R«fertv»ndafit ^.quatio y+s l y^My**.x*'yjao, iftw * Buit uni- 
formitpr, & owim fcnbicnr pto ejtts Fioxione. Ffcge 5 = Ax» pfoximc, 

erieque j = »Ax*~\ } = »T^A*-~M tjuibus fubfKtutfs «qaatL 
one refultK ZT^» A x— 2 4~ A #" = o. Pone jam Coeffieientesn 
Mn—Hsao, & prodibk »=0, vel »=1 : bi valores Cubftituti pro n 
in ^quatione, ^xUibent 

oxAjt *-\-aoA.x* =0, & 

o X A x- ' -j- A * = o ; 
quumque in utroque cafu cvanefcat membrum in quo x eft minima- 
rum dimenfionum, concludo e(T« o vcl 1, indicem ipfius x in primo 
Terrhino Seriei quae convergit eo ckius quo minor eft x : adcoquc ufur- 
pare licct 

y = A 4-,"C «• + D* • -f &c. 
vel j = A,*4-B* , 4-Cji'-4- i Dx'-|-&c. 

In ^quatione refulowee m^n A*****4«-«4-»»i Ax' = o, pone nunc 
Coefficientem aa-~ «»=6 ; «rftqne »*= + «: fcribe igitur 4-a, & — a 
pro », & prodibic 

7^1 Ax«- 2 -foX A x' =0 

A x — - » 4- o x A x — — o. 
In utnooue igitur cafu evanefcit membrum in quo x eft maximarum di- 
menfionum ; eaque propter erkque +a vcl — a indcx primi Termini 
Scriei co citius convcrgentis quo major eft x. rsam aflumere Iicec 



84 Summatio Serierum. 

y = A*--f Rx— »-f-C**-4-}-D*— « -f- &c 

vel y = A*— *+C*-— -»-f D*-— « -f&c. 

Harum quatuor Serierum coefficicntes dcterminate dant valores Radi- 
cis fequentcs 

*"+ , ^'+^-+^c.. + a^ +8te • 

**~~4.-~1 *'""" 8.4+1. ***~" 12— 1-3 '**» 16.^-4 x * 

Duae priores attinent ad multiplicationem aut diviflonem Arcus circo- 
Iaris. Pofteriores vero fpectant ad aream Hyperbolar. £t haec Exem- 
pla fufficiant ad illuftrandam resulam hic addu&am pro dtterminando 
mdice. £a deduckur ex Propoh tionc quin t i : aicpie per eandem & re- 
gulas Nrwtoni, extraclio radicum in Seriebus infinxii adumbilicum per- 
ducitus , uti quivis facile percipiet qui mediocrirer verfatus eft in iis qtue 
hic de re Authores haftenus protulere. Etenim facile demonftrabitur 
A£quationem non admittere Seriem pro Radice quar hac methodo non 
eruttar. Sed bic non loquor de Seriebus quae conflantur e ' 
in quibus indctenninau * habet indices indeterminatos. 




PARS 



Digitized by Google 



85 




PARS SECUNDA. 

D E 

Interpolatione Serierum. 



I T rccta qusevis pofuione d.ua PQ^ fuper quam cri- 
gantur Ordinaue quotcunquc A, B, C, D, &c. fibi 
mutuo parallelje, & «qualibus intervallis ab invicem 
diftantes: defignent autem has Ordinatae Terminos Se- 
riei rcgularis, continue increfcentes vel decrefcenles, & 
codcm figno affcctos ; acquc una eademquc Curva tranfi- 



bit pcr cxtrcmitates omnium, quce quidem determinabitur ex data 





A a P B b 



D d 



E e F / Q^G g 



jEquatione ad Seriem, id eft, ex data /Equatione generalitcr expri- 
mente relationem intcr duas vel plures Ordinatas qualvis fucoeflivas. 

Z Si 



8 6 Interpolatio Serierum. 

Si ex data ^quationc illa differentiali erui poflit JEquatio hujus 
Curvse Algcbraica, utpote quse definii rtlationcm inter Abfciflas & 
Ordinatas correfpondentes, habcbitur Ordinata qusecunque ex data ejus 
Abfcifla pcr rcfolutioncm .flLquarionum altcdarum, adcoque Interpola- 
tio Seriei abfoluca; qu« utique confiltit in aflignatione cujuflibet Tcr- 
mini primarii vel intermedii ex d.uo cjus loco in Seric. Ubi vero 
./Equatio Curvae Algcbraica nequit inveniri, id quod plcrumque fit, 
nihil ultcrius fperandum c(t quam exhibere valorem Termini cujuflibec 
quasfiti per Scricm convcrgcntcm, vel force per Quadraturam Cur- 
varum. 

Hic autem loquor de Terminis xquidiftantibus, quorum quippe rela- 
tioncs prodcunt fcribendo numeros aquidifferentes fucceflivc pro Ab- 
fcifla 2 in JEquatione diffcrcntiali Serirm definiente. Nam intervallum 
communeOrdinatarum fupcr Abfciflam confiflcntium, proportionale eft 
incremento invariabili indeterminata: z. 

Propositio XVI. 

Si idem fit intervallum commune Terminorum primarto- 
rum £f tntermedtorum, detur unus ex tnterme- 
dtis, dabtmtur cmites ex data /Equatione ad pri- 
rnarios. 

In figura fupcriore defigncnt A, B, C, D, &c. Tcrminos primarios, 
& a, r, d, &c. uucrmedios ; lintque intcrvalla primariorum AB, BC, 
CD, &c. tequalia intervallis intermeoiorum u!\ <t, .</, &c. quodquc cui- 
que. Dico omnts intermedios d.ri cx d.uo coruin quovis uno & fi- 
mul /Equatione ditFercnti.iti dcfinii nie iclationcm primuriorum. 

Etenim ^iquaiio qua? aflign.it relationem primariorum dcfinit Cur- 
vam iranfeuntem per eorum cxtrcmitates ; & /Equatio qua; delinit re- 
lationtm interiin.d;orum dclinic ttiain Curvam tranfcuntcm per illorum 
cxtrcmitatcs. Scd pcr dcfinitionc.n p. iuuriorum & intcrmcdiorum 
eadcm Curva tran.1t pcr amborum extremitatcs ; qu.ire cidcm /Equa- 
tio qure dcfinit Curvam, definict rctationem Terminorum in utraque 
Serie. Et illa /Equatio, datur ex hypothcfi; adeoque datur lcx con- 
tinu.indi intermcdios, qui itaque omncs dabuntur cx dato quovis uno. 
Q. E. D. 

Corollarium. Si in ^Equatione quavis diffcrcntiali exprimer.te rclati- 
oncm primario: u:n A, B, C, D, &c. valorcs I ucc?flivi Abfciffe z fint 
— PA, PB, PC, PD,&c. cxiftente pundo quovis P principio Abfciflfe : 

tura 
i 



4 



Digitized by Google 



Interpolatio Serierum. 8 7 

tum habebuntur relationes intermediorum fcribendopro 2 fucceflive — P,/, 
P£, Pc, P</, &c. in eadem fl?quatione. Nam ^Eqikitio differentialis ge- 
ncraliter exprimit relationem inter duas quafcunquc Ordinatas ad certam 
diftantiam ab inviccm fuas, fivc ce cadant in Serie primariarum fivc in 
ea intermediarum. 

* 

ExEMPLUM L 

In progreflione Terminorum Gcometrica r, x, x*, x 1 , * 4 , &c. fi 
Termini rn medio conliftentes inter primarios fint a, b, c, d, e, &c. erit 
b=ax, c=bx, d=cx, e=Jx, &c. quorum utiquc eadem eft relatio ac 
primariorum. 

EXEMPLUM IL 

Si Ttrmini primarii fint i, i, 2, 6, 24, 120, 720, &c. quorum relati- 
ones funt B=A, C=:B, D=jC, E=4D, &c. & Tcrminus dire&e 
in medio confirtens inter duos primos 1 & 1 fit a; reliqui dabun- 

tur per Aiquationes / • = j a, c = j b, d= j c, e = j J, &c. hi utpote 

confiftunt in medio intcr duos quofque primarios, ab iifdemhinc inde 
sequalitcr diftantes. 

Si vero a dcfignct Tcrminum inter primum & fecundum, cujus 

4 

diftantia a primo cft tertia pars intervalli communisi pone b = —a t 

o 

c — — b, d= jr,e = jj, &c. arque a, b, c, d, e, &c. erunt mter 

medii quorum quifque dift.it tertia parte intervulli communis a prima 
rio ipfum anteccdente, vel duabus tertiis partibus ejufdem intervulli a 
prirrurio ipium immcdute confcquente. Conftat igitur rclationcm in- 
tcrmediorum d\ri ex Intcrpolationc relationis primariorum : & ca fcm- 
pcr eft intcrpolabilis, quonum aflignatur pcr /Equationem ad Sericm. 

EXEMPLUM III. 

Proponatur Series 1, ~, &c. qu.r producitur per mul- 

tiplicationem contmuam numerorum -, -, jp p &c. & fit a Ter- 

2 

minus in medio intcr primum & fccundum, atque ponatur b = - a t . 



88 Interpolatio Serierum . 

6 8 

c — -b, d— — c, e=. — d, &c. tum crunt b, c, d y e, &c. reliqui intcr- 

5 7 9 . 

mcdii qui confiftunt in medio inter duos quofque pnmanos. 

ScHOlION. 

Si JEquatio ad Scriem involvat tres Terminos, debent dari duo ; & 
«res fi involvat quatuor, & fic porro, ut habcantur reliqui intcrmcdii. 
Hujus autem gcncris cft Propofitio Ntwtoni fcptima in Traclatu de qua- 
dratura Curvarum, qua: tamen non tantum obtinet in Curvis fed & in 
Serie quacunquc. Atque ului vcnit hoc Theorema quotiefcunque quse- 
ritur Terminus intermcdius qui confifiit prope initium Serici: co enim 
in cafu ejus valor provcniet in Scrie lcntiftime convcrgcnte ; quare pri- 
mo quxrcndus eft refpe&ivus intermedius fatis remotus a principio, 
cujus utique valor prodibit in Serie cito approximante: dein cx hoc 
dato regrcdiendum eft ad illum primo propoGtum per relationes Tcr- 
minorum, ut in hac Propofitione. 

Propositio XVII. 

Omnts Sertes efl tnterpolabtlts, cujus Termhri conflant ex 
faHortbus tntcrpolabtltbus. 

Sit Ax«X«, Bx^X3, Cx Xy, Dx X.J, &c. Series cujus Tcr- 
mini conflantur ex tribus facionbus: dico e.tm clfe intcrpolabikm, fi 
interpolabilcs fint tres fadprum Scries, kilicet A, B, C, D, &c. <t,b, 
c, d, &c. & «, (3, y, i, &c. 

Quoniam enim Termini intermedii in Seric compofita, eodem modo 
formantur cx intcrmediis correlpondcntibus in Serkbus fimplicibus, ac 
primarii cx piimariis i iidtm mvcnimtur ducendo refpcclivos interme 
dios Sericrum fimplicium in fe mutuo. Ut fi T fit Terminus inte^" 
B & C, ; refpedtivus intcr b & c, atque T rclpeftivus inrer 0 & y •, 
tum Terminus correfpondens in Serie compofit.i, fcilicct is inter B x 
bx& & CX'X)-, erit f.uftum fub illis rribus, nempc Tx'Xt. Et fi 
plures vel pauciores fint fadores, fimilitcr demonftrabitur Propofitio. 
E. D. 

Corcllarium. Hinc in Scrie intcrpoland:i, fi dua; vel plures Serics faclo- 
rum fint accuratc intcrpohbilcs, poflunt rejici ex computo: dein reliqu* 
funt intcrpolandse per methodos pollea tradcndas. Nam interpolatio non 
eft temere fufcipienda •, fcd ante cxordium operis inquirendum eft quje- 
nam fit Scries fimpliciffima excujus intercalatione pendct ea Seriei pro- 

pofitse. 



Digitized by Google 



Interpolatio Serierum. 89 

fitae. Atque haec pra?paratio eft magna ex parte omnino necefiaria, 
ut deveniamus ad conclufiones concinnas & clegantes. 

EXEMFIUM I. 

Si Series intercalanda fit i, t- .v, — x' — x* -^- x 4 , &c. pri- 

6 40 112 1 1 5 2 * 

mum refolvo eandem in tres Series fattorum Gmplicium ad modum 
fcquentem 

*•, x\ x\ x\ t &c. 
1 1 1 1 

P P 7 • 9' 
1 3 5 35 - 
x ' 2' 8« 16' 128' *-* 

& harum trium Serierum palam eft duas primasefle interpolabiles, non 
item tertiam \ qua; tamen quum fit fimplicior, facilius interpolabitur 

3uam ea quae proponitur. Ut fi defideretur is in medio inter fecun- 
um & tertium Seriei compofitas j patet correfpondentes Terminos io 

prima & fecunda Serierum fimplicium effe x* & - rcfpe&ive : in ter- 
tia Terminus correfpondens appelletur T, dcin factum fub hifce tri- 

bus x T , \- t &T, five ~Tx-Jx crit is qui dcfideratur. Adeoque 
4 4 

Interpolatio Serici compofitae reducitur ad Interpolationcm Seriei fim- 
plicioris. 

EXEMPLUM II. 

f T — T" I f 1 ~ 2 f —|~ ■3 

Si detur Series hujufmodi i, — A, — i — B, ■-■ <_ -• C, —| — D> &c. 

J p p-\-i p-\-i p-\-$ 

interpolare licet Series Numeratorum & Denominatorum feorfim, hoc 

cft, Series 

1, r, r.r-r-ii r.r+i.r+i, &c 

x » f» ?-7+i> /-FT" •/-*-*» &c - 

Deinde Terminus quilibet in Serie Numeratorum divifus per refpecli- 
vum in ea Denominatorum, dabit correfpondcntem in Serie propofita. 
Si differentia inter r & p fit numerus parvus, non opus eft hujus ar- 
tificii. Caeterum quando praedifta dirTercntia eft magna, necefle eft 
interpolare Numeratorcs & Dcnominatores feorfim. 

A a Scholion'. 



$ o Merpolatio Serieru?». 

SCHOLION. 

Huc etiam referri debent prurimae hujufmodi prxparationes. Ex- 
empii gratia, fi Seriei 

&c. e, d, c, h *, A, B, C, D, E, &c. 
hinc inde excurrentis in infinitum defideretur Terminus in medio in* 
ter duos medios primarios a & A. Duc Terminos primarios zqua- 
liter a medio diftantes in fe mutuo •, hoc eft, A in a, B in b, &c. 
& componetur nova Series utrinque cxcurrens in infinitum 

&c. Dd, Cc, Bb, Aa, Atf, B£, Cf, Dd, &c. 
cujus Termini a medio arqmliter hinc inde remoti funt inter fe a»quales : 
& cujus Terminus in medio inter A c& A a erit quadratum Tcrmini 
quaifiti qui confiftit in medio inter a & A in Serie prius propofita. 
Igitur Terminus ille quxfitus erui poflit pcr interpolationem alterutrius 
Seriei. 

Notandum eft Terminum defideratum confiftere poffe in diverfis 
Seriebus, & ex ea confideratione facilius nonnunquam inveniri. Ut fi 
Terminus quilibet quaefitus latcat in medio inter pnmum & fccundum in 
utrivis Scnerum fequentium 

i, r, r.r+i, r, r-J- 1 .r-f-2, &c. 
i i i „ 

Tum duceodo Terminos refpe&ivos in fc mutuo producetui 1 nova Se- 
rics 

inter cujus Terminum primum & fccundum is qui mcdium Iocum te- 
nct, sequalis eft quadrato ejus primo propofiti. 

Nonnunquam etiam interpolatio profpere furredet per Logarithmos, 

f>r*fertim fi Terminorum pcrmagnae fint differentiae. Scd harc & 
imil'ta addifcenda funt experientia. Nam ficuti in Algcbra vulgari 
tota ars Analyfbe non conliftit in refolutione iEquationum affeflarum, 
fed in perducendo Problcmata ad eafdcm } ita etiam in hac Analyfi, 
minus folcrtiae requiritur ad refolutioncm ^Squationum differcntialium 
aut interpolationem Scrierum ; in inveniendis enim Seriebus quae detcr- 
minant quantitates incognitas, qua.quc idonear fint intcrpolationi, con- 
fiftit longe major difficultas. 



P&OPO» 



Digitized by Google 



Interpolatio Serierum. $ i 



Propositio XVIII. 

Si Termtnt duavum Serterttm formehtur ducendo in fe con- 
itntte FraBiones quarum Numeratores Denomina- 
tores increfcant perpetua additione unitatis 3 & ft iidem 

ftnt Numeratores tn utraque - y Dico Terminum ttnius 
cujtts diflantia ab initio ejl differentia fatlorum in aftera 
aqttalem effe Termino bujtts cujtts dtflantia ab initio efl 
diffhrentta faclorttm in tlla Serie, modo prtmi Termtnk 

fibi invicem tequentur. 

Sint duse Serics quarum primi Termini A & a fibi mutuo arquentur 



B=JA, C=^ I B,D= ? -- r2 C,E = 
» = <=£> '- +2 - - r±3 



D, &c. 
dy &c. 



?i-3 

& in quibus iidem funt Numeratorcs, dico Terminum prioris cujus di- 
ftantia ab initio aequalis eft differtntix factorum in poftcriore, nempe 
q—r t squalem efie Termino pofterioris, cujus diftantia ab initio cft 
f — r, fcilicet differentise fa&orum in Serie pnore. Et notandum, ubi 
p — r vel q — r eft quantitas negativa, Terminos de quibus agitur 
confiftere ante primos hifce intervallis. 

. Afiumamus Terminum quemltbet Seriei prioris, verbi gratia fepti- 
mum, pofita A=i, fcilicet 

Et primo fi fit p — r = o, Gve /> = r-, erit f-\-i=zr-\-i, /+2=r4-2, 
&c. adeoque omnes Numeratorcs & Denominatores fcfc mutuo deuru- 
unt, & rcrtat G = i. 

Si fit p — r=i, erit /=r+i ; & indc /-|-i=r+2, /-f-2=r-f-3, 
&c. quo in cafu evanefcent omnes Numeratores praster primum, & 

r 

Dcnomiiutores omnes prxter ultimum i exiftcnte G = ix^jp^« vel 
r ' 

G=iX r _T_6 proptcr/>+ 5 asqualem r+6". 



5 2 Interpolatio Seriertim. 

Si fit /w=2, vel/=r-j-2-, erit /-fi=r4-3, /-^-2=^4.4, &c. 

6 nunc evanefccnt Numeratores omnes praetcr duos pnmos, & omnes 

r r-|-i 

Denominatorcs praeter duos ultimos, manente G = ixjqp^x^q^> 

vel G^iXq^Xq^. prop«* {+*=*+** & T+5=*+7- 

Et fimiliter fi fit p— -r=3, vel /> = r-f-3j evanefcent Numcrato- 
res omncs praster tres primos, & Denominatorcs omncs pnctcr tres 

ultimos : & in illo cafu erit G = 1 X;^ X^ X Jq^. Atque u- 

niverfaliter in valore Tcrmini G, tot fcmper erunt Numeratores toti- 
dcmque Dcnominatores quot funt unitatcs in p—r, ut in Tabula fe- 
quente 

p — r = o, G=i, 



r 



/>— r=i, G=iX^pg 

r r4- 1 

p-r=i, G=ixqr- 6 x^p- 7 ' 

r r-f-i r-f-2 

?—r= 3 , G=ixqr 6 xr^r 7 x^p, 

r r-f-i r+2 r + 3 

^_r=4, g = j x x r — ? x r qr 8 x^r 9> 

&c. 

Adeoquefi ponatur j=r-j-6, five}—r = 6j Terminus hujus Sc- 
rici 1, j A, ^pj B, &c. cujus intcrvaJlum ab initioeft q— r fivc 6, 

jeq«ialis eft Termino hujus 1, -a, -fr - " *> &c. cujus intcrvallum ab 

initio cft p r. Et codcm modo manifcfta erit Propofuio inaliis ca- 

fibus. Q^E. D. 

Corollarium. Hinc fi differentia faftorum p & r non fit permagna, 
Terminus Seriei prioris utcunque longe rcmotus ab initio femper deter- 
minabitur pcr Terminum in Serie pofteriore qui parum diftat a prin- 
cipio. Ut Exemplis fequcntibus patebit. 

ExEMPLOM 



1 



Digitized by Google 



Interpolatio Serierum. 9 3 



EXEMPLUM L 

Sit r=3, f> = 5, j=io; & hifce valoribus fubftkutis, cvadcnc 
dux Serits 



1 3j4 3j4J 3-45-6 „ 
* 5 7 5-6' 5.6.7' 5.6.7.8' &C - 

3.4 3-4-5 3.4.5-6* 



, &c. 



' 10" 10.11' 10.11. 12' 10.11.12.13 1 

Eft vero $— r = 7, <> — r=2; adeoque Terminus in priore cujuS 
incervailum ab initio eft 7, aequalis erit Termino in pofteriore, cuju* 
intcrvallum ab initio eft 2 ; five quod idcm cft, o£tavus Terminus Se- 

. . . 3.4.5.6.7.8.9 . /1-3.4 ^ 

nei pnoris ^ ^ 7 8.9.10 1 1 aEI T ua l |S e " terci ° poftenons j^-^- Et no- 

tandum eft ubi differentia inter /> & r eft numerus integer, tum Ter- 
minum quemvis Serici prioris femper sequari primario alicui in pofte- 
riore. 

ElEMPLDM IL 

2 4. 6 8 
Slt prior Series 1, — A, ~ B, - C, — D, &c. & quoniam factorum 
1 3 5 7 

incrementum cft binarius, dividc Numcratores & Dcnominatorcs per 

12 2 

binarium; & prodibit Scries 1, 7-A, .7-7-7 B, 7-7— C, &c. ubijamin- 

crementum faftorum eft unitas ; & per confequens haec Series compa- 

rari poffit cum illa in Theorematc, prodcuntibus r = 1, / = j- : Sit 

etian» m intervallum intcr primum Terminum Scrici & quemvis alium* 
&erit « = f— r, vel » = $ — 1, atque j=»i-J-i; quo fubftituto c" 
vadet Scrics poftcrior 

a 2b y iri 
*» ^XT» «_U 7 » I7I-L-3' wi-f-4' 



cujus Tcrminus ab initio rcmotus intervallo f — r, five — p sequalia 

erit Tcrmino prioris cujus intervallum ab initio eft quantitas qua?cun- 
que m. Hoc eft, Terminus prioris utcunque longe remotus a princi- 
pio, fcilicet diftantia utcunquc magna m femper aequabitur Termino 
poftcrioris, qui confiftit ante priraum dimidio intcrvalli communis. 

B b Vd 



$4 Interpolatio Serierutn. 

Vel fi fumatur Series i, 7 A, |- B, §- C, D, &c. cujus Tcr- 

mini funt reciproci ejus de qua nunc egimus, erit r = *-, p= 1 ; & fi 
m Ct intervallum inter Terminum primum & quemvis alium, erit 
m-q—r, vel m = j — ac ? =ro-|-~, & pofterior Series evadet 

x ' 2M-f i' 2»i-|-3* 2m-f-5' *»H^7' 

In qua Terminus ab initio remotus diftantia j>— r, fivc •, id eft, 

Terminus in medio inter primum & fecundum, aequalis erit Termino 
cuicunque prioris cujus diftantia ab initio eft quantitas qusclibct m. Ut 
fi defideretur Terminus Seriei millefimus priraus, cujus utique interval- 
tum ab initio eft raille, erit m— : 1000, & Terminus Serki 

. _i_ __ II JL &c 

*• 2001 * 2003* 2005' 2007» 

qui confiftit iu medio inter primom 1 & fecundum — - - aequalis crit 

millefimo primo Termino hujus 1, ~ A, | B, | C, J-D, &c. Cujus 
etiam Termini intcrmedii eodem modo inveniuntur j nam fi pro » fcri- 



9 99p provenict Series 

* _J__ _5f_ _7_. & 
*' 2000' 2002' 2004' 2006' 
cujus Terminu» in medio inter primum & fecundurn, asquali* eft Ter- 

mino hujus Seriei 1, A, j B, |-C, j D, &c. qui confiftit in me- 

dio inter millefimum & millefiimum primum. 

Exemplc M _1 

Si quacratur Tcrminus hujus Serici 1, 7- A, — B, C, — D, &c. 

cujos intervallom a principio fit quantitas qualibet *: primo divide 
Numcratores & Denominatores per incrementum ipforum commune 3, 

£ z 21 
& evadctSeries 1, rA^B, &c. adeoque erit r=— , />=-, j — 

T 1 3 3 



Interpolatio Serierum. $ 5 

r _ j — = j & indej = w+-: unde Series pofterior cvadet 

*' 3*+^ 3*-F5* i^F»' 3«+»*' * 

cujus Terminus ab inicio diftans intervallo p — r, Gve — -, id eft, 

Terminus qui confiftit ante primum tertia parte intervalli communis, 
aequalis eftTcrmino Seriei prioris, qui diftat a principio, intervallo quan- 
tumvis magno m. 

De Quaniitatum Differeniits. 

Sit a, b, c, d, e, Series quotcunque quantitatum, & fi priores aufe- 
rantur de pofterioribus, manebunt Ditferentiae prima? b—a, c — b, 

j c t d: dein fi harum Differentiarum priorcs fimilitcr aufcrantur 

dc poftcrioribus, relinquentur Diffcrenciae fecunds r — 2/> + a, d — 

2f JL£ t id-\-c ; quarum rurfus Differentiae conftituunt Differenrias 

terms V— 3 <+3 * — * <— 3 <* + 3 quantitatum r </ 

Et fic porro proccditur ufque dum pcrventum fucrit ad ulumam Diffe» 
rcntiam ut in Tabula fequente. 



1 mrc 

b. 

b 

— V — b 

c 



—d 



d—ic+b 



-ld+C 



4ta 



3^+3 <— *h 



_1_+6 C — 4*+»| 



Sit 1 — x binomium in quo uncbe +1, — t esedem fint ac Coeffi- 
cientesin Differentiis prirois tum uncue quadrati • «cih- 

t 1 , 2 J_i e runt Coefficientes in Differcntns fecundis; uem 

uncijeCubi 1 —^, +3, —1 crunt Coefficientes in Differentiis ter- 
tiis ■ & in fcenere Coefficientes in quolibet ordine Diffcrencurum erunt 
unc'_ in correfpondente dignicate binomii. Atquc hifcc praecognitis, 
pcrgere licet per faltum ad quemlibct ordincm Diffcrcntiarum ablque 
confidcratione intermediarum. 

Duje quantitates habent Differentiam primam, treshabent fecundam, 
quatuor tcniamj ncc ultcriorcs babcre poffunt. Scd nonnunquam^ac- 



$ 6 Interpolatio Serierum. 

cidit qucndam ordincm Differentiarum conftituere progreffioncm aequa- 
Jium, quo in cafu ultcriores Differcntia: non habentur, utcunquc mag- 
nus fic quantitatum numerus. Sic in progreffione arithmetica aequan- 
tur differentiae primae, adeoque non dancur fecundae. Ec in Scrie qua- 
dratorum i, 4, 9, 16, 25, &c. quorum radices funt arquidiffcrentcs, 
differentiae prima: 3, 5, 7, 9, &c. funt in progreffione arithmetica, fc- 
cund.-c funt aequales, caque de caufa tertiae funt nihil. Sic etiam in 
Serie cuborum 1, 8, 27, 64, 125, 216, &c. Differentuc primae funt 7, 
19, 37, 61, 91, &c. fecundae 12, 18, 24,30, &c. tertiae 6, 6, 6, &c. 
ucique aequales ; adeoque quarcae nihil. 

Lt univerfalicer fint A, B, C, D, E, quancitates quotcunque datae, 
2 vero variabilis, tum in expreflionc A-^-Bz-\-Cz* -\-D z* -)-Ez 4 
fcribe numeros quofvis aequidifferentes fucceffive pro z; & quantita- 
tum provcnientium uitimae Differentiae determinabuntur per altifllmam 
digniutcm z 4 , nulla ratione habita ad inferiores. Sic in hoc cafu quar- 
ta differentia eft ultima, proptcrea quod quarta poteftas z 4 fit hic al- 
tiffima. 

Saepiffime differentiae conftituunt Seriem convergcntcm in cafibus 
quancfo non abrumpunt. Ut fi a, b, c, d, e, &c. fint fcre intcr fc ae- 
qualcs, carumque Differentiae priraae b — a, c — b, d — r, # — d, &c. 
etiam fibi mutuo fere aequales, atqucctiam fccunda? fimilitcr & fcqucntcs 
fibi mutuo quamproxime aequales, tum a, b — c, c — . 2 b -\- a, d— 3 c -f- 
$b — a, &c. conftitucnt Senem convcrgentcm. Itcm dirtcrcntiae Tcr- 
minorum quorum relatio definitur &quatione 

T xz , +<i3 , - | +i« , - l +.&c.=T x + x 4- &c. 

fumptae ad modum pneccdentem conficicnt Seriem convergentcm. Sed 
non expe&andum cft Diffcrcncias quantitatum quarumcumquc vel con- 
vcrgcrc vcl abrumpere. Hoc tantum accidit in iis quantitatibus quae 
incrclcunt aut dccrcfcunt accurate vel quamproximc eadem celeritate 
ac ccrtae quacdam dignitatcs numcrorum aequidifferentium. 

De Defcriptione Curvarum per data puntla. 

NwtoKus in Epiftold ad Oldenburgum Anno 1676 dati, poftquam 
monflr.ivcrat artificium evkandi Scrics nimium complexas in quadratura 
Curvarum trinomialium i inquit, «' Scd haec minoris facio, quod ubi 
" Series fimplices non funt latis tractabiles, aliam nondum communi- 
" catam mcthodum habco, qua pro libitu acceditur ad quaefitum. 
** Ejus fundamentum cft commoda, expedita, generalis folutio hujus 
** Problcmatis, Curvam Geometricam drfcribere, qucr rer data quctcunque 
** furila tranfibit. Docuit Euclides defcriptionem Circtili per tria pun- 
«* dta. Poteft ctiam Seftio Conica dcfcribi pcr quinquc data punfta : 

«& 



Digitized by Google 



Interpolatio Serierunt. 



91 



" & Curva trium dimenfionum per feptem data pun&a j (adeo ut i" 
« poteftate habeam defcriptionem omnium Curvarum Iflius ordinis, quae 
« per feptem tantum pundta determinantur.) Haec ftatim Geometrice 
« fiunt nullo calculo interpofito. Sed fuperius Problema eft alteriut 
" generis : & quamvis priml fronte tntra&abile videacur ; tamen res 
« aJiter fe habet. Eft enim fere ex pulcherrimis quae folverc defi- 
« derem. 

Newtonus in Propofitione fexagefimi Aritbmeticat Univerfalis, docet 
defcriptionem Parabolae Conicte per quatuor pumfta: vel potius docet 
methodum inveniendi /F.quauonem ad Parabolam quas tranfibit per 
quatuor data puncu. Et eftdem methodo defcribere licet Lineam 
tertii ordinis per novem pundta, & Lineam quarti per quatuordecem. 
Et fic in reliquis. Sed noftrum inftitutum non requint folutionem 
adeo generalem *, fuffick enim defcribere figuram Parabolicam per ex- 
tremitar.es quotcunque ordinatarum quse funt fibi mutuo, & etiam Axi 
Curvse parallelae. Sed neque defcriprio Curvae organica motu angu- 
lorum, aut alio quovis modo, ad prarlens propofitum conducit : eodem 
res redit five Curva aclu defcribatur, five deJcripra concipiatur. Curvae 
enim hic nullatenus funt necefiariae, nifi quatenus adjumento funt in- 
tclledtui in rite concipiendo Probiemate. Etenim defcriptio Parabolas 
per data punfta, idem eft omnino Problema ac affignatio quancitatum 
ex datis ipfarum Differentiis } quae per Algebram folam, idque per re- 
folutionem ^quationum fimplicium femper perficitur. 



neam Parabolicam qua tranftbit per extremitates om- 
titum, 

Defignent A, Ai, A2, A3, A4,&c. -Ordinausa^quidiftantesinfiftentes 
Abfciflise normaliter. Colligeearumdiffcrentiasprimas B, Bi, B 2,1*3, & c « 
fecundu C, Ci, C2, &c. tertias D, Di, &c. & fic porro. Adeo ut 
A fit Ordinata pritna, B differentia prima duarum primarum Ordina- 
tarum, C differeotia fecunda trium primarum Ordinatarum, D differen- 
tia tertia quatuor primarum & fic deinceps. Diffcrentise autem colligi 
debent auferendo priores ubique de pofterioribus hoc eft, ponendo 

B = Ai A, Bi = A2 — Ai, &c. C=Bi — B, &c. & ita porroin 

reliquis j ponendo eas effe negativas qua» oriuntur ex fubdu&ione quan- 
litatis majoris de minore. 




Cc 



Hifce 




$ 8 Interpdatto SerierUm- 




A Ai A2 A3TA4 A5 
B Bi Bi B3 B4 
C Ci Cz C3 
D Di D2 
E Ei 



Wifce praemiflls, flt T qugvls Ordinata in genere, primttria v&l ln- 
terrriedia, cujus diftantia a prima Ofdinara A, nempe AT ifk ad in- 
tervalltim Wttimliiie «quidifcantltim ut quantitas indctefinuvita 2 ad 
urJitatem, eritqoe 

T= A-t- 
BX7 + 

cxrx^^ 

2 Z— I « — 2 . 

Dx 7 x— x— + 

_. 2 2 1 2 1 2—3 

Ex^-x-^-x— x— + 

_, 2 2— I 2 2 2 3 2—4 , 

Fx r x— x— x— x — + 
&c. 

( Bc eft valor Ordinatse cujufvis T jacentis ad cafdem partes Ordi- 
natae primc A, adquas jacent reliqua: : quod fi jaceret ad aheras, tum 
murandum foret fignum Abfciflse 2. Etenim Abfciflam pono arfirma- 
tivam qu« ab initio tendit dextram verfusfnter Ordinatas pofteriores; 
negativanvvero quae ad contrarias partes porrigitur. Propofltio autcm 
fic demonftratur. 

1 Concipe 



Digitized by Google 



JntsrfwJatio Serierynt. $ 9 

Concipe Ordinar,arn T motu parallelo Iatam deferri fupcr Abfciflam, 
adeo ut fucceflivo deveniat fui foca reliquarum. £t quoniam illiua 
diftantia *b Qrdinata primi ponitur efle ad iatej-vaUum Qrdjoatafuca 
commune ut z ad unhatem ; ent * fucceflive sequalis o, i, 2, 3, 4, 
&c. & intcrea T o:qualis Qrdinatis A, Ai, Az, A3, &c. per vicjejy 
cuique in fuo loco. Igitur ad eruendas Coeflkientes A, B, C, D, &c. 
quse efliciunt Parabolam tr.mfire per extremitates Ordinatarum, in M- 

quatione ad figuran» T= A-J-B^ -fC- X *"^* + D 7X^~x 

4" &c fcribe Ordinatas A, Ai, A2, A3, &c. fucceflive pro T» 

& interea pro 2, longitudines Abfciflse ordine fequentes, id eft, o, u 
2, 3, &c atquc emcrgent ,/Equaiiones 

A=A, Und<rA=A, 
Ai=A-fB, -B=At— .A, 
A2=A+2B+C, <T=Ac— 2A14.A, 

A 3 =A-|-3B4.3C+|(D, D=A 3 — 3A24-3A1— A, 

A4=A4.^C4-4D-hE, E=A4-4A34^A2-4Ar+A f 
&c. &c 

Qyippe tx valoflbus Qrdinawum A, Ai, A2, &c ricjffjm etuunr 
tur valores Coefljfiicntium A, B, C, &c. iEx quibus pat«t .CHrdinataro 
primam A efle primam Coefficientem 1 item differentiam duarum pri- 
marum Ordinatarum efle Coefficientem fecundam ; & differentiam-je- 
cundam primarum trium efle Coefilcientern tertiam; & fic in infinitum. 
Igiturvalores Coerficientium in folutione pofiti effkiunt Parabolam tran- 
fire per extremitatea Ordinatarum. -Q^E. D. 

Idemaltter. 

... . w . . 

Fingamus effe in genere T= A-f-.B 7 4" C 7 *^7"^ "f P-J" X 

4-&c. ubi A.B^C,D,&c F fijntCo«fficieqwsdeterminaJh 



2 " 3 

d«. Scribc valores variabilium confeqyentes T", z^f- 1 pro anreceden- 
tibus T,z-, & emerget T'= A-fB^ ^-C^x^D^X 
-X— - 4" &c - dc q«o fi fubducatur.vaioripftv»Ti.l^bitur 



/ 



i oo Interpolatio Serierum. 

T-T = B+C^+l5x7X^+&c. 



Ubifubftituendo T, T, z+i proT, T, z, prodibit T—T: 

B+Ci±l- 
fius relinquit 



T— 2 T+T = C+D 7 + &c. 

Et fimiliter invenies T- 3T+3T— T=D+&c. Defignet jatn 
T primam Ordinatam, & valor correfpondens Abfciu« erit nihil, quo 
fubftituto invenics 

A=T, 
B = T— T, 
C=T— 2T+T, 
D = T~— 3T+3T— T, 
&c. 

Hoc eft, prima Coefficiens A sequalis eft Ordinatx prims» T ; fccunda 
Baequalis eft differentiae inter duas primas Ordinatas T & Tj tert» 
C s^ualis eft differentiaE fecundae trium primarum Ordinatanim, T, 
T, T; quarta C tequalis eft differentue tertic primarum quatuor-Or- 
dinatarom j & fic porro in reliqais ut jam demonftratum ttt. 

EXBMPLUM I. 

Dentur quinque Ordinatae 1, 4, 2, 3, 9, pcr quarum extremitates 
oportet Parabolam tranfire. Collige earum 

differentias primas j, —2, 1, 6; feeundas 14230 

— £> 3» 5> tertias 8, 2 ; & ultimam — 6. 3 — 2 1 6 

Dein juxta pratfcrirxa in folutione Propofiti- —5 3 5 

onis, pro A, B, C, &c. ponantur Ordinata 8 2 

prima, & prima quzque differentia refpe- 6 

ttnre •, hoc eft, A = i, B=3, C=— 5, 

D=8, E=— 6, at F, G, &c. erunt nihil. Hifce autem vaJoribu» 
fubftitutis, prodit Aiquatio ad Parabolam 

T _. * K iZLL . R l „iz_ x * *—t t—i 
T-i+3 t -s , *— + 8 7"— 6 7"~T* "~" 4 • 

quae in ordincm reducta fit T = l2 + Il6z — »tiiz +242:*— .32:^ ^ 

que 



1 



Digitized by Google 



Interpolatio Serierum. i o i 

que ad probandum opus, fcribe o, i, a, 3, 4, fucceffive pro Abfciffa 
z, & pro T provenient Ordinata: quinque propofit*. 

Ceterum Ordinatse poffunt fumi in ordine inverfo, modo mutentur 
figna differentiarum in ordinibus alternis: tunc ponendum eft A=o, 
B= — 6, C= 5, D = — .2, E= — 6-, quibus fcriptis & JEquatione 
prodeunte in ordinem redacta, candem obtinebitur T= 

sx>8— oaz-f-9^ jH 42 . in q U a fi pr0 2 fubftituantur o, 1, 2, 3, 4, 

prodibunt Ordinatse propofitse in ordine inverfo. Atque hic obtinentur 
duae jEquationes pro efidem Paraboli, quoniam Abfcifla initium ducic 
nunc a prtmd, nunc ab ultima Ordinata. 

ExEMFLUM II, 

Oporteat nunc invenire Aquationem ad Parabolam quae tranfit per 
extremitates fcx Ordinatarum sequi- 

diftantium 5, 3, 7» 57». "5- C«|- 5 3 7 *3 57 H5> 
lige earum differentias primas, reli- —2 4 16 34 58 
quafque ufque dum perventum foerit 6 12 18 24 

ad ultimas, ut in margine, Et inve- 6 6 6 

nies A= 5 , B=— 2, C=6, D=6. 
Quibus fubftkucia, oritur 

Z , , Z Z— 1 , ,% Z — I Z— 2 

T= 5 -2 r + 6 7 X— +67X— X — , 

quse reducU fit T= 5—3 ^-f 2 '' Et fi pro z fcribas fucceffive ©, 
1, 2, 3, 4, 5, provenient fex Ordinatae propofitse. 
' Linea refla tranfit per duo pun&a, Parabola Conica per tria, Cubica 
per quatuor, Biquadratica per quinque, & fic in infinitum. Nonnun- 
quam vero accidit Curvam inferioris ordinis tranfire per plura pun<fra, 
ut in Exemplo noviffirao. Ordo autem Parabolse femper denotatur 
per ultimum Ordinem differentiarum. Quod fi numerus Ordinatarum 
fit infinitus, & progreffio sequalium differenttarum non obveniaC, in> 
eo inquam cafu Curva erit dimenfiooum infinicarum, valore ipfiu» T 
excurrente in Seriem infinitam. 

SCKOLION. 

In hac folutione pofuimus diftanrjam communem Ordinatarum efle- 
unkatemv verura fi pro cadem ufurpaflem quanticacem quaravis n r 
prodiiffet 

Dd Te 



1 02 Interpolatio Serierum. 

T = A + Bx-+Cx-X— +DX-X — X- 17 - + ter. 

* . ■ - • 

Fingejam Ordinatam Jecundam Aic=A-j- A», 

tcrtiam.o A2=A-J-2A»+" A»*, 

.quartam A3=A-f 3A»4-3A»*-f- A«», - 

quintam A4=A-f 4A»-}-6A« , -f-4A« , -l r A»\ 
&c. 

Et invenies viciffim B = A«, C = A»', D = A»\ E = A»\ &c. 
quibus valoribus fubftitutis pro B, C, P.» E>. & c< orietur 

T = A + A 7 + A r x— + A 7 X — X— -f &c. 

Evadat jam intervallum commune » nihil, & A, A, A, &c, evadenc 
fluxiones Ordinaue prirme A, dummodo fluxio Abfciflae z fit, Jinitaa j 
atquc proveniet , > . „ 

T = A+Az-}-j 'Az;+ 7 Az'+j + Az 4 -}-&c. ' ; 

Igitur coincidentibus Ordinaris xquidilbntibus, mcidimas-iit Seriem-tibi 
Coefficientes T«rmir»<mim funt fluxiones Ordinat* prima: rcfpeftive 
divifse per numtros i, i, 6, 64," &c. iqui generantur pcr continuam 
multiplicationem borum, 1, *, 3, 4, &c. • Et hoc prtfpu» deprehendic 
D. Tayhr in Metbodo bicrcmenloruw, & foftca Hermanus in Appendice 
ad Pboronomiam. i 

Hinc fl Ordinaea Curvae cujufcunque rcfolvatur in Seriem hujus fbr- 
mse A.-j-Bz + Cz 1 -j-Dz' 4* &c. ubi exponcntes Abfdfla; z funt? 
nuracri intcgri & aflirmaiivi •, primus Tcrminus A eft prima Ordinata, 
utiquc qua: tranfit per initium Abfciflaj ; primi duo A -J-Bz dcnotant 
fineam reflam qu* tranJit per duo Curva; puocla coincidentia, qua;- 
que proindc tangit Curvam; primi trts Termini A-f-Bz-f-Cz* de- 
finiunc Parabolam Conicam qu* tranfn per tria Curva; pun&a coinci- 
dentia, qurequc ea de cattfa tangit Curvam, eandtmquc habet Curvaru- 
ram in punclo per quod tranfit Ordinata prima ; piimi quatuor Ter- 
mini A-J-Bz-J- Cz' -f-D z' definiunr Parabolam Cubicam quae tran- 
fil per quatuor Curvx punfta cocuntia, id eft, quac tangk Curvatn, 
candcmque h.ibet Curvaturam & Variationem Curvatunc in puncloCon- 
raftus. Denique tota Series A-I-Bs + Cz 1 -f-Ds' + &c. eft Ordi- 
nata Parabols dimenfionum infinitarum qu:e tangit Curvam, & 1n pun- 
Cio Conuclus, tabct c.mdcm Curvaruram, Variationcm Curvaturas , 

1 Varia- 



Digitized by Google 




Interpolatio SerUrum. t o 5 

Variationem Variationis, & fic in infinitum, ut exprtmitur a Newtorto 
in Propofitione decimi Libri fecundi Principiorum. Vel quod eodcm 
redit, tota Series eft Ordinata Parabols tranfeuntis per Ordinatas Cur- 
vae jequidiftantes, numero infinitas, & coincidentes cum Ordinatft 
primi. 

Hinc idcam habemus analogix quse eft inter Mcthodum DifFerenti- 
alem & Methadum vulgarem Scrierum ; hscc proccdit per Fluxiones 
five rationes difFerentiarum ultimas, illa vcro generaliter per differen- 
tias cujufcunque magnitudinis. • s j< 

Dcfignct DEF Curuam quamvis, 
cujus AbCcifla AC dcQuflat Ordina- 
tas asquidiftantcs A D, BE, CF, ad 
angulos reftos. Sitque A B = z , , _ 
AD = A i eritque ex feperioribus A jj 

BE=A+Az+7 A2»+i- A2' + ^A 2 « + &c. fcilicet hicce 

valor ipfius BE eft Ordinata Curva; Parabolicas qufc coincidk cum 
altera Curva u> pun&o D : igitur pro Area Curvas ufurpare licet Are- 
am ejufdem Parabolae, qtwe pcr methodum Fluxionum invcrlam pro- 

dit ABED = A 2 +jA 2 »+g-A 2 »+^A^ + ~ A 2 < +&c. 

Et eidem prorfus ratiooe fi BE dicatur y, cxiftente AB = BC = z, 
ertt Arca < 

BCFE=y x + 7>'+ 0 -?2 , +~ y* 4 + 7_o? *' + ««• 

In qua fi mutetur fignum Abfciflae 2, obtinebitur Area B E D A ne- 
gativc exprefla, fcilicet mutando fignum Abfciflse obtihetur Area jacens 
ad alteras partcs Ordinafce. Scd Arca illa affirmative exprcfla evadit 

B E D A =az — »J- y z' ; + j J «» — ±'i + ~y x< -&c 

Et hsec eft Series D. Jobattnis BermuUii cxhibens Aream per Ordina- 
tam ultimam ejufque Fluxibnes cxpreflam •, quamque nos jam dedimus 
pcr Fluxiones Ordinatx primae. Notandum autem cft Scriem priorcm 
non extendi ad c.ifus in quibus Ordinata prima tangit Curvam, & Sc- 
riem D. Bernoullii non cxtcndi ad eos in quibus Ordinata ultima tan- 
git Curvam. Nam Parabola cujus Area ufurpatur pro Arca Curvse 
quadrunda? nutlam Ordinatarum tangere poteft-, adcoque coincidcre ne- 

?uit cum altcra Curva Ordioawm fuam tangefltc. Hujufmodi cnim 
;xprefliones pro Areis & Ordinatis Curvarum praefupponunt formans 
Scriei A+B?+Cz»+ &c. in qui exponentes Abfciflse z funt numcrj 
inwgri & affirmativi. 

r ROPC- 



1 04. Interpolatio Serierum. 

Propositio XX. 

Detur Series Ordmatarum aqutdiflanitum tttrinque excur- 
rens m infinrtum, &* oporteat invenire Lineam Para- 
boltcam qu<e tranftbit per extremitates omnium. 

Cafus prtmus. 

Defignct a Ordinatam in medio omnium, fintque 42, 44, 46,48, Btc. 
eae ex una parte ; & 20, 44, 64, 8«, &c. ez ex akera \ pergente pro* 
greffione utrinque in infinitum. Colligc earum differentias primas 7B, 
5B, 3B, iB, Bt, B3, B5, B7 » fecundas 6*, 4$, 23, J, *2, £4, i6» ter- 
tiaa cC, 3C, iC, Ci, C3, C5 $ quartas 4;, 2*, r, (2, C4; & fic porro 
m rcfiquis, auferendo femper antccedentcs de confcquenabus ut in Pro- 
pofiriont fupcriorc. 



9a 6a 44 24 a 42 T44 «6 a8 
7B 5B 3B iB Bi B3 B5 B7 
6, Ab %b b H * 4 K. 
5C 3C iC Ci C 3 c 5 
¥ *e e n c+ 
3 D iD Di D 3 

24* d dz 

iE Ei 



Snt jam 4, r, d, *, &c Ordinata mcdia & diffcrentise in ordinibus al- 
tenus refpe&ive. Sintque iB & Bi, iC & Ci, iD & Di, iE & Ei 
&t. dwe mcdise differcntije in rdiquis ordinibus i & ponantur B= 

iB+ 



Digitized by Google 



Interpolatio Serierum. 1 0.5 

iB-f Br, C=iC-f Ci, D = iD-fDi, E=iE + Et, &c. Sit qu c 
intervallum inter Ordinatam quamvis T & mediam a ad intervallum 
commune xquidiilantium ut z ad unicatem • ericque Ordinata 



»««k««uaavi «wvfuaMl.vaMfbtwlll U| Aa AU UUIk4«h>ilI % vlUlJUb Wl UlllUvd. ^ ,-|_ «^ «X 

~ 1.2 r 757 _ ^.i, !; *...<_, ^ * «p * /0 ' 



-**•••• *T *.../o I _ 



2Cz-ffZ2 zz-K^x^T -V 

1.2 ^ 3.4 / * 6 ^-.-s. 

3.4 x 5.0 ^x^ ^^^-^ 



1.2 



4 V-^-txz zz — 1 zz — 4 aa — q \?-l.t< 

i.z X 3.4 X ~5.6 X 7.8 * 

5 F -f-/ 2 z zz—i zz — 4 zz— .9 zz. 

X 3-4 X 5- b X 7-8 X 9.10 
&c. 



/• y 



*2 



2 --■»/) i~.>_> <T 



X Z 



Ubi notandum eft Abfciflam 2 efle negativam quando Ordinata qua:- -6 * V r • A Z 

fita T jacet ad contrarias partes Ordinatse media;.- ^ ^ ? 

Cafm fecundm. -~^-\ ~~ iT77o Y 

Sint jam iA & Ar, Ordinatx duse mediz; A3, A5, A7, Ao, &c. 
eae ex una parte \ & 3A, 5A, 7A, 9A, &c. etc ex altera. Collige 
earum ditTerentias primas 8_, 6a, 4«, 2d, «j, 02, .4, «t6, 48 % fecundaa 
7B, 5B, 3B, iB, Bi, B3< B5, B7 i tertias 6b, 4*, 2*, b t bz, £4, b6 t &c. 
& Gc dcinceps; fubducendo ubique priorcs de pofterioribus 



4, 



/O 

y 




/£> 



9 A 7A 5A 3A 1AOA1 A3T A 5 A7 A9 
Za 6a +a ia a az a\ a6 a8 
7B 5 B 3B iB Bi B3 B 5 B7 
6b 4* ih b bi £4 b6 
5 C 3 C iC Ci c 3 c 5 
4c 2f e ci t-4 
3 D iD Dx D3 
ii d dz 
1E Ei 

E e Excerpe 



Digitized by Google 



i o6 Interpolatio Serierum. 

Excerpe nunc differentias medias a, b, c, d, e t &c. ut & duas medias in 
aliis ordinibus, fcilicec iA & Ai, iB & Bi, iC &Ci, iD & Di, 
m • iE & Ei, &c. & ponantur A=iA-|-Ai, B=iB-fBi, C=iC-|- 

^ <•» Ci, D=rD4-Di, E=iE-f-Ei, &c. Ct vero O punttum in me- « 

dio mter Ordinatas duas medias iA & Ai. Et cujufvis Ordinatae 
T diftantia a medio punfto, nempe OT fit ad intcrvallum com- 
, mune acquidiftantium uc z ad Binarium : Eritquc 

T = -±£ ^ S + 7^ C 



4 - 




&c. 



Et in hoc quoque cafu z eft affirmativa quando T jacet ad eafdem 
partes puncti medii O ac in Schemate, & negaciva quando jacet ad 



• ■ f O " " . 

M> contrarias. Uterque autem cafus facillime demonftratur ad modum 

~\ Propofuionis fuperioris. 

EXEMPLDM I. 

Dentur quinque Ordinatse —3, —8, 1, 12, 37, per quarum ex- 
tremitates ducenda fit Parabola. Qujere 

^ earum ditTcremias primas — 5, 9, 1 1, 25 . —3 3 1 12 37 

/7 fecundas 14, 2,14. tertias — 12,121 — 5 9 n 25 

^^jt-j. ~ ultimam *4- Dein quoniara mime- 14 2 14 

rus Ordinatarum eft impar, procede per -—12 12 

c Cafum primum. Et inchoando ab Or- 24 

~ lit*'*' ~ dinata media, perge ad ditFerentias me- 

dias in ordinibus alternis, poncndoa=i, £=?., ^=24; dein B=g-U 
• * 11=20, C = — 12 12=0. Et hifce fubftkutis, prodic T = i X 

*1 20Z-1-22Z 24ZZ z?—\ 

— i.z h — X-^--, five T=i-f io2-j-zV Eftque hax Ordi- 

nata Parabolaj quatuor dimenfionum tranfeuntis per extremitates quin- 
x. + Z quc ° rdinataruni propofitarum , ut conftabit fcribendo numeros 

—2, —1, o, 1, 2, fucccffive pro 2. In hoc cafu Curva decuflac 

bafin, 



Digitized by Google 



Interpolatio Serierutn. 1 07 

bafin , quontam Ordinatas funt partim negativac & partim affirma- 
tiva?. 

EXEMPLUM H. 

Dentur jam fex Ordinatx i, 5, 10, 10, 5, 1 per quarum extremi- 
tates oportet ducere Parabolam. Quaere / 0, 

earum differentias ut in margine: & 1 5 10 10 5 1 f o * c 

quoniam numerus Ordinatarum eft par, 4 5 o —5 —4 t\ Q 
adhibeatur Cafus fccundus. Tum inci- 1 — 5 —5 1 ! 3 ', 3 I 

piendo ab Ordinatis duabus mediis, & — 6 o 6 ' 1 ' 

progredicndo ad binas medias differen- 6 6 io (•> 

tias, erit A=io-}-io=2o, B= — 5 — o 
5= — 10, C=6-|-6=i2i dcinde a=o t 

b—o, r=o. Quibus valoribus fubftitutis, erit T= — — — X — ~- -\- 

So * ' 

— X ~ x 8~io '' quaE ^l 1131 ' 0 in ordinem redu&a evradit T = _ )o *• - ' ~ f; * 



^ — "t"* . Atque ad probandam operationem, fcribe — 5, — j, ^jhfo/h-t 



— i» '» 3» 5» fucceflive pro 2, & exibunt Ordinatae propofitae. Ete- 
nim in cafu Propofitionis fecundo, intervallum commune Ordinata- 
tarum, five, quoa perinde eft, incrementum Abfciflae squatur Binario. 

In hoc Exemplo defunt dignitates Abfciffe imparium dimenfionum, 
quoniam Ordinatae a principio Abfciffas hinc inde aequaliter diftantes 
funt ejufdern figni, & inter fe aequales. Nam hoc in cafu jtquatie 
ad Parabolam cadcm manet, ctiamfi mutetur fignum Abfciffae. Quod 
fi Ordinatae propofitae fuiffent 4-t, — 5» +10, —10, -f-5, — 1, vel 
-j-i, 4-5, -|-io, —10, —5, —1, ubi Ordinatas a medio aequaliter 
remotae funt etiamnum aequales, at diverfis fignis affectae •, in eo in- 
quam cafo defuiffent dignitates Abfciflae parium dimenfionum. 

SCBOLION. 

De dcfcriptione Curvae Parabolici generis per data quotcunque 
punfta, egcrunt plurcs celcbres Geometrae poft Newlonum. Sed ort> 
nes eorum folutiones casdem funt cum hifce jam exhibitisi quae quidem 
a Newtonianis vix difcrepant, uti conftabit ex Lemmate quinto Libri 
tertii Principiontm & metbodo Differentiali a D» Jones edita. Newtonus 
quidem defcribit Parabolam per data puncta » alii confideraverunt afli- 
gnationem Terminorum ex datis differentiis ; fed quocunque modo con- 
cipiatur, fub quacunquc forma profctatur, idem eft Probkma. Et 

fane 



6« 




Digitized by Google 



1 08 Interpolatio Serierum. 

fane invcncio formarum quas habcnt valorcs Ordinatse T, eft pcrquam 
ingeniof.i & fummo Auftorc dlgna : at poftquam habcntur forma:, in- 
veftigatio Problcmatis eft facilis, in quam utique nihil aliud requiritur 
quam refolutio ^quationum fimplicium. 

Std notandum eft formam Ordinatae A-f-Bz-J-Cz'-}-Dz»-f- &c. ex 
poteftntibus compofitae, quam aflumic Newtonus in demonftrando fuas 
methodi fundamento, male huic negotio deftinatam efle. Nam valor 
cujufque CoefHcicntis prodit in Scnc infinita \ fi quis vero aflTumferic 
formas hic ufurpatas, incidec minimo labore in conclufioncs fuperiorcs. 

PROPOSITIO XXI. 

Data Serte Terminorum primariorum ittvemre ittterme' 
dios, qui nott lottge dtjlattt a prtrtcipio. 

Supcr re&am poficione datam ad anglos rcclos, & in xqualibus ab 
inviccm diftantiis erigantur Ordinatse rcfpeclive aequales Terminis pri- 
mariis •, dein per Propoficiones duas fuperiores quatracur Linea Parabo- 
lica quac cranfic per omnium excremicaces, & eadcm quoque cranfibic 
per excremicaces incermediorum ; qui icaque dabuncur cx daca ^qua- 
tionc ad Parabolam. Q^E. I. 

EXEMPLUM I. 

* 3 5 35 &2 

Interpolanda fit Scries 1, -, g-, yg, j^, &c. cujus Ter- 

mini producuntur per mulciplicacionem continuam numerorum 

«357 

-, |-, j-, &c. quaere differentias Tcrminorum & diffcrentias dif- 
ut fequicur. 

1 1 i_ 35. 63 

2 8 16 128 256 ac - 

i_ _L __ _5_ _7_ 

2 8 16 128 256 

3. * J_ 3 

8 75 128. 256* 

_5 _5_ _7_ 
16 128 256 
_35 _7_ 
128 256 
_il 
256 

Quoniam 



Digitized by Google 



Interpolatio Serierum. 109 

Quoniam haec Series ex una tantum parte excurrit in infinitum, pcr- 
agenda eft Interpolatio per Propofitionem decimam nonam. Et fi 
primus Terminus i adhibcatur pro Ordinata prima, erit A=i, 

B = -pC= + |,D = _^,E=+^, &c. quibus fubftitutis, 

prodic 

_ 12,32 Z-_t C. Z 7 1 Z— 2 , „ 

T = .- r x 7 +jx 7 x— -^x r x — x— +&c. 

id _. T = , -f A , _| B 5=! -f C *-=±-\ D^!__. 

Ubi jam A, B, C, D, &c. defignant Terminos hujus Seriei, more New- 
toni. Ccterum Tcrminus quilibec primarius ufurpari poteft pro Ordi- 

nau prima, cricquc A=J-, _= — £-, C = + ^ D = — -^, 

7 

E = -J- — — r, &c adeoquc 

_ 1 1 z r z z__i 

'24162 83 10 4 
Sed fciendum eft 2 efle diftantiam inter Terminum quaefitum & illum 
qui adhibecur pro Ordinata prima. Ut fi Tcrminus defideratus T 

ftet in mcdio inter primum & fecundurrv, pone -f- j- pro 2 in priore 

valore ipfiusT-, & — j pro cadem in pofteriore valore •, atque pro 
codem Termino habebis duas Serics fequentes 

■- 4 L A + ^B + l|c + M D+ ^ E + & . 

f + ? A +^ B + ^ C + g D +,^ E + &c - 
Et quoniam hse Scrics convergunt quam lenciflime, fummanda; funt 
pcr Theorema in Scholio Propofitionis decimae primx. Atque fcien- 
dum eft valores Terminorum prodire fimplicifiimos quando Tcrminus 
qui confiftit proximus incermedio quxfico, adhibetur pro Ordinata 
prima. Sed ^uando Terminus quaefitus longiflime diftat ab initio, ufui 
venit Propofuio dccima octava , ut monftrabicur in fcquentibus. 

Ff ExEMPLUM 



I io 



Interpolatio SerUrum. 



ExEMPiUM II. 



Interpolanda fit Series i, i, 2, 6, 24, 120, 720, &c. cujus Termini ge- 
nerantur per multiplicationem continuam numerorum 1, 2, 3, 4, 5, &c. 
Quoniam hi Termini increfcunt celerrime, eorum differcntire conficient 
progreflionem divergentem, id qttod impedit quo minus Ordinata Fara- 
bolx accedat ad veritatem. In hoc igitur & fimilibus cafibus interpolo 
Logarithmos Terminorum, quorum utique diflVrentiae conftitucre que- 
unt Scriem cderiter convergentem, etiaoifi ipfi Termrai increfcunt ce- 
lerrime ut in Exemplo prsefente. 



ter dccimum primum 3628800 & decimum fecundum 39916800: & 
ex eo dato regrediar ad Terminum qujefitum per Propofitionem de- 
cimam fextam. ■Quumquc habeantur aliquot fermini confiftentes ex 
utraque parte intermedii qui primo cruenaus eft, inftituo opemioncm 
per Cafum fecundum Propofitionis vigefimae. Etenim ubi computus 
non eft in fpeciebus, fed in numerts, procedere licet hic methodo 
quotiefcunque datur fatis ampius Terminorum numerus ex utraque 
parte Termini quaefiti confiftentium, etiamfi ipfa Scries interpolaada re- 
apfe non excurrat utrinque in infinitum. 

Excerpo nunc ex Tabula Logarithmos duodecim Terminorum, 
quorum primus eft is Termini fexti 120} fic nt habeancur fex ante, to- 
tidemque poft illum qui quaeritur. Dein quoniam Terminus ille defi- 
deratus confiftit directe in medio omnium, erit in Cafu fecundo Pro- 
pofitionis vigefimas primas Abfcifla z=.o t & propterea differenti* 
primse, tertise, reliqusque ordinum imparium quse in z multiplicantur, 
non ingredientur computum; igirur tantummodo colligo duTcrcntias 
fecundas, quartas, cctcrafque in ordinibus parrbus ut vides 




Logtrithmi 



Digitized by Google 



Interpolatio StrtfrM 



iii 



Logarithmi 



2.0791812460 
2.8573324964 
, 3.7024305364 
4.6055205234 
5.5597630329 
6.5597630329 
7.601 1557180 
8.6803369641 



9.79+2803164 321846834 



10.9404083521 
12.1164996111 
13.3206195938 



669467S9C 
579919470 
511525224 

4575749^ 
413926852 

377885601- 
347621063 



299632234 
280287236 



quartas 

z 1154180' 



fextas 



14443928 2568588 
10302264 1446210 



1 m.T 



7606810 
5776699 
4490316 

3559 62 9 
2869602 



8 6 5343 
543 72 1 

355V 
24066C 




Excerpo jam binos medios Logarithmos, binafque medias differentiasi 
eorumque Summas pono aequalcs A, B, C, D, &c. rcfpeftive uc vidcs 



6.5597630329 
7.6011557180 



413926852 
377885608 



7606810 
S776 6 99 



A = 14.1609187509, 8 = 791812460, C= 13383505, 



865343 
543728 



259252 
*335»3 



156590 
65082 



0=1409071, £ = 392835, F = 221672, 

Tum in Cafu fecundo Propofitionis vjgefimx primae i fubftituo o pro 
2, &habeo 

Scribe jam ipforum A, B, C, D, E, F t valores mox rcpcrtos, & cocn- 
putus fic fe habebit . 

7.08045937545 494882787 
1568380 34401 
2098 266 

+ 7.08047508023 —494917454 
Ac fubducendo Summam Tenninorum negarivorum ab el afErmativo- 
rum, remanet ^ = 7.07552590569. Eftque hic Logarithmus numeri 
11899423.08, uriquc qui confiftk in medio inter Terminos 3628800 
& 39916800. 

Jam 



j 1 2 Interpolatio Serierum. 

Jam ficuti Termini primarii formantur ducendo primum continue in 
numeros i, 2, 3, 4, &c. ita per Propofitionem decimam fextam, inter- 
medii generantur ducendo intermedium inter primum & fecundum in 

numeros 1 j t 2 ~ t 3 4 J-, &c. continuc. Verbi grati4 productum 

fub dccem fadtoribus 1 -, 2 -, 3 -, 4-, 5 -, 6 -, 7 -, 8 -, 0 -, io^-, 

2 2 J 2 2 •> 2 * 2 ' ' 2 2 " 2 2 

& Termino quiconfiftit in medio inter primum & fecundum, xquale eft 
intermedio mox inyento 11899423.08, cujus utique locus eft in medio 
mter decimum primum & decimum fecundum. Igitur fi Terminua 

ille intermedius dividatur per 10 & quotus per 9 j t & quotus 

noviflimus per 8 & fic porro ufque ad diviforem 1 j ; ultimus quo- 

torum aequaJis erit Termino in medio inter 1 & 1. Tcrmini vcro in- 
termedii per divifioncm Ulam prodeuntcs funt 

Primarii j ... 

3 00 16800 Intcrmcdl1 
399 -11899423.08 

2628800 „ „ 

6 w -i 133278.389 

3 288o -i 19292.4620 

^ 20 -! 4O34.4O729 
5 0 *°., 87I.254305 

72 °-287.8852777 
120 

-52.34277777 

2 *-i 1.63 172839 
6 

-3.323350969 

-I.32934O388 

Unde conftat Terminum intcr 1 & 1 efl*e .8862269251; cujus qua- 
dratum cft .7853 . . . &c. fcilicct Area Circuli cujus Diametcr eft uni- 
tas. Atquc illius Termini ciuplus 1.7724538502, fcilicet qui confiftic 
ante pnmum pnmarium dimidio intcrvalli communis, sequalis eft Ra- 
dici qwdrati numeri 3.1 41 5926. . . . &c. qui dcnotat Circumferentiam 

Circult 



Digitized by Google 



Interpolatio Serierum. 113 

Circuli, cujus Diametcr cft unitas. Eccnim fi quadrata primariorum 
conftituanc novam Scriem 1, 1,4, 36, 576, 14400, &c. Terminus in 
niedio inter primum & fecundum crit ad unicatem ut Arca Circuli ad 
quadratum circumfcriptum : & Terminus qui confiftit ante primum di- 
midio intcrvalli communis eric ad unitatem ut Circumfcrcntia Circuli 
ad Diametrum. Ceccrum in fequentibus monftrabicur hujufmodi Sc- 
ries interpolari poflc abfquc Logarithmis. 

EXEMPLUM III. 

Quadranda fit Curva cujus Ordinata eft x X^+7*- • Scribe o, 
1, 2, 3, &c. fucceflive pro indicc a, & proveniet Scries Ordinatarum 

aequidiftantium **- x~+fx'f t x' -1 x~+ / *'\ *'~ ' X '+/*«*• 
&c. inter quas Ordinata propofita locum obtinet intervallo \ diftan- 
tem ab initio. Igitur Arca quiefica eundem ctiam obtinebit locum inter 
Areas illarum Ordinatarum, quas conftituunt progrcflionem fcqucn- 
tcm Terminorum zequidiftantium, 

Jam fi ha; Arese intcrpolarentur per Propofitionem dccimam nonam, 
provcniret pro Area quaefita, eadem Serics ac per methodum vulga- 
rem reducendi Ordinatam in Seriem convergentem ut exinde invenia- 
tur fluens. Attamen fi Termini in Serie Arearum primo dividantur 
per Terminos hujus progrefilonis Geometrica: rcfpective, nempe 

7+7?°, 7+-/xJ', *+/*'' 1 , T-ffx 73 , &c, Hoc eft, fi ponantur 




e+fx- 1 
&c. 



1 1 4 Into*polatio Scriemm. 

& inftituatur computus juxca Propofitionem dccimam nonam, invenicn- 
tur ditTcrentue 

p C = -±^Dfc D_ -T_^_l + '' &c 

quibus fubftitutis pro A, B, C, D, &c. & a. pro z; invenies Tcrmi- 
num diftantia k ab initio rcmotum, efle 

** _ a»/xM" A. ~.;;'/"'y»-r*» _ Ajp.ZT;.,,*/ V-r-»' 

Scd quia Tcrmini interpolandi divifi erant pcr dignitates ipfius tf-J-/*'', 
quifque fcilicct per dignitatem cujus index erat diftantia Tcrmini ab 
initio; e contra ducTcrminum mox invcntum in dignitatem pnedi- 
cli binomii, cujus index eft A, fua utique diftantia ab initio, & pro 
Area Curvae habcbitur 

Vel ponendo }= 7— — ., r = -— -; atqucfcnbendoScricmmorciS^tf- 
ioni, prodibic 

- x"""" - 7 A>-— - B. - — - a C D) _ &c. 



t— i 



pro Area Curvse cujus Ordinata in gcnerc eft x x^-p7* • Et Iijec 
Series tranfmutata per Propofitioncm fcpttmam, migrabit in cam New- 
toni pro qoadratura Curvje binomialis. Abrumpit quando index a eft 
integcr & affirmativus; fed poft debitam Ordinata? pneparationcm a- 
brumpet femper ubi Curva eft quadrabilis. Ccterum ejus ufus praci- 
puus eft qnod exhibeat Arcas in Scrie admodum fimpfici. Si Cocfli- 
cicntes e, )\ contrariis fignis afficiantur, prasferenda cft Serics Newtoni ; 
& noftra ubi iifdem. 

ExEMPLUM IV. 

Oporteat afljgnare Uncias Binomii ex data Uncia media in dignitate 
cujus index eft numerus par. Si « denotet indicem dignitatis, & Un- 

cia mcdia ducatur continue in fractioncs — ?— , ^p 1 , ^r|. &c. facta 

/!-}-2 "-t"4 «-J-O 

erunt Unciae reliqua? confiftentes ex utraque parte medi-. 



Digitized by Google 



Interpolatio Serierutn. 1 1 5 



« tl — 2 V 4. 

» ff— 1 



2^-xjqpj, 

« «—2 * 

4 .=ax^r 2 x^qr 4 , 

» n — 2 » — 4 

Et fi dcfignct Unciam mediam, tum ai, a\, a6, &c. cx una parte* 
& la, 4«, 6a, &c. ex altera defignabunt reliquas Uncias. Dem meun- 
do computum per cafura primum Propofitionis vigefimas invenies 

efleTerminum Seriei interpolandae , cujus diftantia a Termino medix 
a eft ad intcrvaJlum commune primariorum ut r ad Binarium. fc.xcm- 
pli gratia, in dignitate dccima fecundaUnciac funt 1,12, 66, 220, 495, 
792, 924, 792, &c. cxiftente Uncia media ^1 = 924. Et fi quxratur ea 
qus temario diftat a media, erit r=;6> quo fubftituto, & 12 pro »; 
prodit 

pro Uncia quifita, abrumpente Serie : & hi Termini liberati a fracli- 
onibus funt 925 — 1188 + 594— 1 10, quorum rumma iub proprns 
fignis eft 2 20, qui eft valor Uncim quaefitae. 

Et ad eundem modum fi index n fit numerus impar, & A altera e 
mediis Unciis ; tum erit 

A_£=I A--32-B-^ C- r p& D-&C. 

z.n+l 4.1,4-5 6. w + 7 e.«H-y 

Uncia cujus diftantia a punclo inter duas medias Uncias intermedio, eft 
ad intervallum commune ut r ad Binarium. , 

Et hae Series in permagna dignitate convergent dummodo mterval- 
lum inter Unciam mediam & quaeGum fit cxiguum refpectu indicis 
poteftatis. 

Scholion. 



1 1 6 Interpolatio Serierum. 

SCHOHON. 

Poftquam Scriei interpolancU dcbite praparatur pcr Propofitionem de- 
cimam feptimam; etiamfi eadcm utrinque excurratin infinitum procedere 
licet per Propofitionem decimam nonam prietcrquam ubi Termini a 
medio hinc inde xqualiter dilrantes funt intcr fe xquales : ubi hoc ac- 
cidit, adhibeatur cafus primus Propofitionis vigefims, fi Terminus qui- 
vis primarius quodam jure vindicet locum in medio omnium : vel fi duo 
Termini eodem jurc locum medium vindicent, adhibeatur cafus fecundus 
ejufdem Propofitionis. E^t in aliis cafibus ad libitum fcre proceditur. 

Propositio XXII. 

Data Serie Termtnorum <equidiftantium, invenire Termi- 
num quemvis primarium vel intermedium utcunqus 
hnge dijlantem ab initio Seriei. 

Si Terminus quiefitus longe removetur a principio, tum per Propofi- 
tioncm decimam octavam qiucre aliam Seriem in qua Terminus ille 
defidcratus conftituet Tcrminum prope iniiium, dcin procede ut inPro- 
pofitione fuperiore. 

EXEMPLUM I. 



Proponatur invenire Tcrminum quemvis hiijus Serici, i, — A, ^B, 

6 r 8 r, s 3 
- *- » — t), &c. a principio quantumvis magno mtervallo m diftantem. 

Pcr Propofitionem decimam oftavam, Tcrminus Seriei 

i a if/ 3C ' * l fl 
J > m +,' OT + 2 ' ^fl* ^if^ & c - 

qui confiftit ante primum dimidio intervalii communis, rcqualis ertt 
Tcrmino Serici prioris cujus intervallum ab initio eft w. Conftat au* 
tcm pcr Excmplum fecundum Propofitionis vigefima: prima?, Termi- 
num dimidio intervalli communis diftantcm ante primum in Serie Nu- 
meratoruin, i,i.i, 1.1.2, 1.1.2.:;, &c. id cft, in hac 1, 1, 2, 6, 24, 120, 

&c. efie Padxem quadratam Numeri 3.141^926 &c. Quarc tan- 

tum mterpolo Dcnominatorcs nempc 

t 1 1 1 

» W+l' JB+| lW +2» W+I.W+i.m+j' &C ' 

Ec 



Digitized by Google 



Interpolatio Serierum. 1 1 7 

Et quoniam hxc Series continuari poteft utrinque in infinitumi ac"b_ 
contmuabitur, & evadet 

&c. £-7.^.*, m, ,1, w+1 ' m _|_ a , &c. 

Ubi Te rminus quae fitus confiftit in medio inter duos medios m & i : fcd 
quta differentiae horum Terminorum funt permagnas i ducantur ii a 
medio hinc inde acqualiter diftantes in fe mutuo ; hoc eft, m in i 

«U^i'» in -q-j j & fic porroi & prodibit nova Series 

o_ «r— .2 m — -i m— .1 «t— . 1 w— 1 rn i 

utrinque excurrens in infinitum, & habens Terminos inter fe aequales 
qui aequaliter diftant a medio. Sed & Terrainus in medio conuftens 
inter duos medios primarios m & m eft quadratum ejus in medio in- 
ter/n & i in Seric priore. In novilfima igitur Serie quasratur T.ermU 
nus ille inter m & m per Cafum fecundum Propofitionis vigefimas, & 
idern invenietur . . • 

■ m gm 75CT 

m ~* 4.m-{-i "T"32.m-j-i.iB-^2 i^B.w+ijw-f-^./»-^ "» 
Quam ducito in Circumferentiam Circuli, fcilicet Terminum refpe&i- 
vurn in Seric Numeratorum, & habebis pro quadrato Termini qua;fiti 

3.14.59 • • - fcc. in m+ 7= ■ + +77^ + T^gf +&c. 

Igitur Terminus Seriei propofitae 1, — A, — B, — C, &c. diftans 

1 3 5 

intervallo m ab initio xqualis eft mediae proportionali inter Circum- 
fcrentiam Circuli & Seriem illam ; quae eo citius convergit quo rnajor 
eft m, hoc cft quo Jongius diftac ab inicio Terminus quaefitus. 

Exempli gratia fit m = 100 & primus Terminus Seriti erit Circumfe- 
rcntia Circuli duclain 100, five ^=314.15927-, dein crit 

A oB 0 . _ 2<;C 3i4.»59»7 

R = 4~ = - 77762 » C =8^ =to858 * D -ITT^ 777«* 
— .0001 7 ; atque fumma horum quatuor Terminorum eft ^ 

314.94564, cujus Radix quadrata 17.7467079 cftTerminus ? 

centefimus pnmus Seriei interpolandje ; five productum 314.94364, 

fub faaoribus ^-x -X-xf-, &c. quorum numerus cft 

3 5 7 

Centum. Et eadem rationc invenire licet Terminum quemvis inter- 

Hh raedium:. 



m8 InttrpfiUtia&mwm. 

medium: nam fi pro tn fcribatur 997, habebkur Terminus in medio 



2 

inter ccntcfimum & centeftmum primum. Vcl ii fubftituatur 99 j 

pro m % habebfcur Terminus confiftens poft centefimum tertia parte in- 
tervalli communis. 

Notandum cft, pofle Terminorum alkujus Seriei reciprocoa interpo- 
lari : fic reciproci Terminorum in Serie noviffima. conftituunt Sericm 

l 5 c 7 
1, — A, B, -~ C, |- D, &c. ia qua Terminus ab initio rcmotua 

intervallo quovis aequali «j iw, sequajk erit Termino Seriei 

a jb_ _5£_ 7d 
*• a»+i» m+? m+s 1 m^f * 
qui confiftit in medio inter primum & fecundum ; quique proindc in- 
venietur efle media proportionaJis inter Seriem fequentem 

ffi+1 ' 2 .»»-|-3 ' 4.m+s ~ ' 8.m+9 ~ 

& numerura .6366197723676 qui aequajis eft unitati divifae per femi- 
circumfcrentiam Circuli: id quod conftabit infiftendo veftigus. prioria 
partis hujus Exempli. 

EzEMFLUM H. 

2 C 8 II 

Quatratur Terminus hujus Seriei 1, — A, |- B, —C, — D, tcc. 

quantumvis remotus ab initio; fcilicet intervallo m : & per Propofi- 
tioncm dccimam oftavam Tcrminus ille aequabitur Tcrmino hujusSeriei 

24 5& 8f \ld 

'» I^F*' 3^B' 3^f8* iM^i' 
qui confiftit ante primum tertia parte intervalli communis. Igitur in- 
tcrcalcntur Numeratores & Denominatorcs fcorfim ut in Exemplo fe- 
cundo Propofitionis vigefima; primse, fcilicet per, Logarithmos \ & 
habebitur Terminus quasfitus. 

Scmolion. 

Hinc conftat Terminos Serierum longiffimc diftantes erui pofle non 
jninus accuratc ac intermedii fub initio, Sed in Serie intcrpolanda 1, 

r 



1 

Digitized by Google 



tnterpQlatia Sericrum. 1 1 9 

T T -t* I 

— A, ^TT d 'ff""">tu inter p & r fit magna, magnus itcm 

crit labor in invenicndo quovis Termino. Cafus autem omnium facil- 

limus eft ubi f — r eft aequalis ± ut tn Exemplo primo, prxter- 

quam ubi differentia illa eft numerus integer quo in Cafu Series erit ac- 
curate interpolabilis. 

Propositio XXIII. 

Invenire rattonem quam hahet Uncia medta ad Summam 
omritum Unciarum in quacunque digtitate binomii. 

Solutio prior. 

Si index dignitatis fit numerus par, appelletur n\ vel fi fit impar, 
voceter *— n eritque ut Uncia media ad Summam omnium ejufdem 
dignitatis, ita Unitas ad mediam proportionalem inter femicircurafe- 
rentiam Circufi & alterutram Serierum fcquentium , 

i A j_ 9 B , 15C , 49P , 81E . 
• + 33^ + 4Th + 6^6 + Siff + ISTps + &c * 

Vel 

_A_ 9B 25C _ 49D 81E 

Exempli gratia, fi qu_ratur ratio Unciae mediae ad Summam omnium 
in dignitate centefima vel nonagefimJi nona, erit 
» = 100 ; qui multiplicatus in femiperiferiam Circuli, 157.079632679 
producit primum Terminum A = 157.0796326794 769998*99 
A _ 9B _ 25C 16658615 
dein erit B = — , C = D = &c. atquc J 

perficiendo computum ut in margine, invcoietur Sum- 37 '37 

ma Terminorum 157.866984459, cujus Radix qua- 2734 

drata 12.5645129018 eft ad unitatcm ut Summa om- 246 

nium Unciarum ad mediam in dignitate centefimi 26 

vel nonagefima nona. Eft autcm hic computus per 3 
priorem Seriem : nam licet exigua fit difFercntia, prae- 
Fero cam in qua Tcrmmi funt omqcs ejufdem figni. >/-° w y°4459. 

Soluti» 



i2o Interpolatio Serierum 

Solutio pofterior. 

Manente » ut antea \ erit Sutnma omnium Unciarum ad mediam in^ 
fubduplicat- ratione periferlae Circuli adalterutram Serierum fequentium, 

4t+ 



2.»+ 3 ~ 4-H-J ~ ~ «•»+9 lo.» + n ' 



Vel' 

i_ _ _____ _ __, 2,_C 4qD^ 8iE 

Vel quod eodem redit, ponatur a = .6366197723676, quoto fcilfcet 

qui prodit dividendo unitatem per femicircumferentiam Circuli; & me- 

dia proportionalis inter numerum a & alterutram illarom Sericrum erit 

ad uniutem ut Uncia media ad fummam omnium. 

Ut- fi fit index » = 100, ut in computo fuperi- .00630316606305 

c « a r% A 3059789351 

ore, ent per Scnem primam A = — , B = ^, * §5566914 

9B _ 25C _ _ 2553 22 9 

C = 4^0' D = 0T2' &C Ex ca,Cul ° autem »43473 

fito patct Summam Terminorum efic 10469 

.00633444670787, cujus Radix quadrata 934 

.0795892373872 eft ad unitatem ut Uncia media 9 8 

ad Sumrnam omnium in dignicate nonagefima nona 12 

vcl centefima. __j_ 

Et ficomninofuntquatuor Scri« ejufdem fim- ^,^707^7 

phcitatis pro folutione hujus Problematis. Cete- ' 

rum in praxi non opus cft recurrerc ad Series: nam fufficit fumere mc- 

diam proportionalem inter femicircumferentiam Circuli & »-| — ; haec 

enim femper approximabit propius quam duo primi Termini Serici, 
quorum etiam primus folus plcrumque fufficit. Excmpli gratia, fi fit 

m=_ioo, erit = 100 p qui ductus in femicircumferentiam Cir- 

culi producit 1 ^7.865, cujus Radix quadrata cft 12.5644, unitate defi- 
ciens in ultirna figuri. 

Eadem vero approximatio aliter & praxi forte commodior fic enun- 
ctatur. Pone c ad unitatcm.uc quadratum Diametri ad Circulum ■, hoc 
cft, fit c = 1.2732395447352» eritqucfumma Unciarum ad mediam uc 

Uncia 



Digitized by Google 



Interpolatio Serierttm. i 2 1 

Unitas ad \ quamproxime, cxiftcnte errore in cxceflu circiter 

iTwi ^ 2^7* Sit w= I00 ' erit 2^PT = - oo6 3345 2 5> e i uf que Radix 

quadrata .07958973 accurata eft in fextii dccimali : qua: vero divifa 
pcr i6n;.', hoc eft pcr 160000, dabit corrcftionem .00000050; & 
hsc fubdu&a de Approximatione, relinquit numerum qusefitum 
.07958923 accuratum in ultima figura. 

Similiter fit » = 900, erit ^Ji - — .000706962545, cujus Radix 

quadrata .026588767 fuperat verum binario in ultima figura. Sin ve- 
ro corrcftio compucetur ac fubducatur de Approximatione, habebitur 
numcrus qiKcfitus accuratus in decimi tertia decimali. 

Hem vero Approximationem a?que facilem & magis accuratam. Dif- 
ferentia inter Logarithmos numerorum n-\-i & ;.— 2, dividatur per 
16, & quotus adjiciatur dimidio Logarithmi indicis », huic dein fummse 
addatur Logaritnmus conftans .0980509385151, fcilicet dimidium Lo- 
garithmi femicircumferentise Circuli, & fumma noviflima erit Logarith- 
mus numeri qui eft ad unitatem ut fumma Unciarum ad mediam. 
Verbi gratia, fic » = 900, computus eric 

7 h 9°° 1. 4771 2 12547 

16) DiflF. Log. 902 & 898 .0001206376 
Log. conftans .0980599385 

Summa 1-5753018308 

EthaecSumma verum fuperat binario, in ultimd figura, eftque Lo- 
garithmus numeri 37.6098698 qui eft ad unitatem ut fumma Unciarum 
ad mediam in poteftate 900 vel 899. Et fi vis illius numeri recipro- 
cum, fume complementum Logarithmi, fcilicet —2.4246981692, & 
numerus eidem correfpondens eric .0265887652 qui monftrat rarionenr 
Unci* mediae ad fummam omnium in pnediciis dignitatibus. 

Demonstratio. 

Dignitatcs Binomii, quarum indices funt numeri pares, habent unam 
Unciam mcdiam j ear vero, quarum indiccs funt impares, habent du- 
as Uncias medias. Et hinc oriuntur duo Cafus Problematis. Primo 
quando index eft par, divide fummas Unciarum 1, 4, 16, 64, 256, 
1024, &c. per fuas Uncias medias, 1, 2, 6, 20, 70, 252, &c. & quoti ' 

8 16 128 256 2 .4«6^8^„ 
«, 2, j. J» "63 » &C " five '» 7 Af 3" » 5 ' 7* c * 

I i runt 



i22 Interpolatio Serierum. 

runt ad unitatem ut fumms: Unciarum ad Uncias mcdias in diverfis 
dignitatibus. 

Similitcr fi fumma; Unciarum in dignitatibus imparibus, fcilicct 2, 
$, 32, 12S, £,12, &c. dividantur per Uncias fuas medias 1, 3, 10,35, 

8 16 128 

126, &c. rurfus prodibunt idem quoti, utpote 2, —» — , — , &c. 

.1 5 35 

Nam eadem eft rclatio inter fummam Unciarum & Unciam mediam in 
quavis dignitate pare, quse cft inter fummam Unciarum & Unciam me- 
diam in dignitate impare proximc inferiori. Adeoque interpolatio Se- 

2 4 6" 8 
riei, 1, - A, - B, — C, — D, &c. ut in Exemplo primo Propofi- 

1 3 5 7 r 
tionis vigefitrue fccunda, folvit utrumque Cafum Problematis. Sed hic 
dabimus inveftigationem harum Serierum abfque methodo Diffcrentiali. 

r ts Soluuonh prioris. 
2 4 

Series interpolanda 1, — A, — B, &c. dcfinitur ^quatione T' = 
r+2 

^j-j- T, ubi n cft quantitas variabilis, cjufque valores fucceffivi o, 2, 

46, 8, &c. fcilicet indices dignitatum quando funt pares, vel indices au- 
£U unitate quando funt impares. Quadra utramque partem ^quati- 

onis refolvendae, & habebitur T'T'=^j^t± TT ve j quod idcm 

T'T' 

cft 2T'T'-f. + 1 x 1 j — 1 T — jjp^ = 0. Affumejam 

TT = K*+£r 2 + w+2 C ; +4 + Zfz-Jjk^ + &C ' 
Et poft debitam rcdixfcionem juxca prarccpta jam cradita, invcnies 

TT = A. + B + ^ +T £_*L+fe. 

In qua fcribe valores variabilium confcquentes pro antecedentibus, hoc 
cft, T'T' pro T T, & /+?. pro », & emerget 

Tum fumendo horum valorum diiferentiam, & duccndo candem in 
/+i, proilibit 

_ # 2C— 4 B 4 D-.i(iC 

-■t-.X 1 I - l 1 2 A. + 4 + - ;; _j_ r + " + — _j_ 6 + &c 

Ccterum 



Digitized by Google 



Interpolatio Serierum. 1 2 3 

Ceterum in valore ipfius TT prius aflumpto, fi fcribatur »-f-2 P»"0 »» 
habebitur 

TT=~- in A + £ 4- + 1^+*.«+« + &c " 

Atque dividcndo per r.-\-2, 
H*_ B C D 

„+ x - A + „_f_ + + „_]_ 4 .„_i_6 + «+4.«+i..«-f-_ "h &c - 

Subftituejam in .fl-quationc refolvenda, valores ipforum T'T', -^fTx 
TT-rr & —7—, ad eandem formam reduttos, & refultabit 

n ■ 1 " 2 

u a , 4C— qB 6D-.15C 8E— 49D . „ 

-B-A+^- + ,7+1^+ »+4. W -T-6. W 4-8 + &C - = °' 
Denique ponendo Numeratores nihilo zquales, habebis 2B— A = o, 
4C—_jB__:o, 6D — z$Q—o, 8E — 490=0, &c. Et hae funt relationes 
Cocfficientium in prima Serie. Et ad eundem modum eruitur Scries 
pofterior in Solutione priore. 



Anahyfts Solutionis pojlerioris. 

2 " 4 6 



I - r 

Solutio pofterior pcrficitur interpolando Seriem 1, --, r, 



~- d, &c. cujus Termini funt reciproci eorum in priore : ea vero defi- 

nitur yl.quatione T = ~^-T, in qua valores ipfius n fucccflivi funt 

_ , . >in-X-ln-\-i 
o,2,4,6,8,&c. utante. Et quadrando evadit T T = nn ^y^_ T T, 

hoc eft, n-lT-2.»~TT-T'T'_:o. 
Fingamus nunc 

_A_ B C D 

TT — K _|_ t -h ,.4.1.^3 "h k4-,. w 4_3., ; 4_ 5 "h ,i-j-i.«4-3.«_}-5,;4r 7 

+ &c. 

Et fubftituendo n-\-i pro «, provcniet 

, A_ B C D 

T'T__ + „_j__. fc -|__ "h ;;4 r i^+5.«-h7 »+3-»+5-*+7-*+ji 

-h-&c. 

adcoqui 



1 2 4 Interpolatio Serierum. 

adeoque 

, A , 4B , 6C 8D 

.^.,..+3.1 r- 4 i - ^ A+-p; + ^4.7747 + , J _ 1 _ 3 ., i+7 .,,_ H 

+ &c. 

qux ad dcbitam formam rcducta fic 

. I 4B ■ 6C — S B 8D-49C 

» a+^ + + ^r +5 r„+- 7 + &c - 

Scribc jam hofce valores in iEquatione refolvenda, atque rcfultabit 
2B— -A 4 C— 9B 6E— 25C _ 8E^ 4 qD 

*+3 ~*~ »+ 2 -«+5 «+3-»+5-«+7 " f "w+3 «+5-«+7-»+9 

+ &c.=o. 

XJbi Numeratores sequati nihilo, dabunt rclationem Cocfficientium Se- 
riei prioris in Solutione pofteriore. 

Quod autem Coefficicns A fic in uno Cafu femicircumferentia Cir- 
culi, & cjufdcm reciproca in altero, fic demonftratur. Pcr Sericm 

priorcm eft TT = Aa in 1 + g -\- &c. Et quo major eft », eo 

propius ^Equatio TTs= A», accedet ad veritatem, quoniam Termini 
pofteriores tandem evadent infinite minores prioribus. Igitur in JE~ 

TT 

quatione TT=A», vel A=- — fi pro n fucceflive fcribantur ejus 

yalores, 2, 4, 6, 8, 10, &c. & fimul quadrata Terminorum correfpon- 
d entium pro T T •, orientur /Equationes continue approximantcs ad 
verum ipfius A valorem, fcilicet 

A = 2, 

A 8 
A = ax-, 

8 24 

&c. 

Quare valor ipfius A eft fadtum fub omnibus 2 x - X — X — XjpX&c. 

9 *5 49 

ufque in infinitum-, quod arqualc cft fcmicircumfcrentia: Circuli per 
Arilbmeticam Infinitorum WalUjiu 

Propositio 



Digitized by Google 



Interpohtio Serierum. 125 



Propositio XXIV. 

Si in Ordinata Cuw<e * r+t_ 'x i — * v ~ r -' fcribantur 
fucceffive numeri integri o, i, 2, 3, 4, z, 
eandem effe relationem inter Areas Ordinatarum 
provenientium , *»/*r Terminos Seriei a t 

j*> ffl^ J^T 2 C > $r/> * f* 

qualis unitati. 

Sint enim Areae & Ordinata; correfpondentes 
Aree Ordinatse 
A 
B 
C 
D 

E 

&c. 

Tum comparando hafce Areas per Propofitionem feptimam Newtoni 
de Quadratura Curvarum, invenies 




B = 



rA-/ x ~~?^ 
P * 
r +' v 7=?f' 



P + * 

D ~~ — FT" 

F _ ^-+3 p — * r * 3 x 

~~~T 

&c. 



Kk Sit 



1 2 6 Inttrpdatio Serimtm. 

Sit jam x xqualis unitati, ut in Theoremate ponitur; eritque i — . 
x = oi quo in cafu relatio Arearum fit B = — A, C= B, 

D = j^-j C, E = D, &c. Adeoque eadcm eft relatio intcr A- 

reas harum Curvarum & Terminos Seriei propofita:, quando AbfcnTa 
* eft unitas. E. D. 

Corollarium. Hinc in Serie a, -;<j, 7^7 &c fi z deno- 

tet mtervallum mter primum Terminum a, & alium quemvis T pn- 
marium vel intcrmedium j erit ut Area Curva; cujus Ordinata eft 

x"" 1 x 1 — x f ~ r ~ l ad Aream Curvas cujus Ordinata eft /"^* - 1 x 

1 — x' f '~\ ita Terminus primus a ad alium quemvis primarium vel 
intermedium, intervallo 2 diftaneem ab initio. 

Exsmplum I. 

Dctur Series intercalanda 1, "~a, —b t '—c t — d, &c. Quoniam dif-' 

ferentia communis tum Numeratorum tum Denominatorum eft 2 ; 
divide eofdcm per binarium, ot differentia illa fiat unitas ut in Theo- 



remate; & evadet Scries 1, -a, - b, &c qu* collata cum ea in 
Propofitione, dat /> = i, r= 7- •, quibus fubftitutis, erit ut Arca Or- 
tiinatse x~ 4 X 1— x 1- ' ad Aream Ordinatse X 1— * ideft, ut 

I x*" 

Area hujus -7= ad Aream hujus - y » ita primus Terminus Se- 

J Vx— xx J Vx— xx * 

riei, five unitas ad alium quemvis primarium vel intermedium intcrvallo 
z diftantem ab initio. 
Ut fi Terminus defidcratus confiftat in mcdio intcr primum & fe- 

1 x T 
cundum, erit z = -, q»o in Cafu fit Ordinata pofterior j^——* five 

—X — : adeoque ut Area Ordinata: /-^ 3 »- ad Aream Ordinata; ,~ - 

Vi— x n V x—xx Vi— x 

id eft, ut Circumfcrentia Circuli 3.1415926 — &c. ad 2, itaunitasad 
Terminum in medio inter primum & fecundumj qui hoc pafto prodit 
.63661977 - - - &c. 

Si 



Digitized by Google 



Interpolatio oerierum* 127 

Si ejufdem Seriei quseracur Terminus cencefimus primus, erit z=s 
100 i adeoque ut 3.1415 — &c. ad Aream Ordinatac —.„-. , itau- 



nitas ad Terminum Propofitum. Ec fimilker ponendo z = iooj-, 

Terminus in medio incer centefimum primum & cencefimum fecun- 
dum determinabitur per Circumferentiam Circuli & Aream Ordinatac 

: ubiquc umen fumendo partes Arearum quse jacent fupra Ab- 

fcuTam unsuti xqualem. 

PoflTun: eciam Terminorum reciproci incerpolari, idque nonnunquam 
magis commodc quam ipfi Termini. Reciproci Terminorum in no. 

viffima Serie funt 1, 7 «, — b t &c adeoque eft rz= 1, />=— j & 

inde ut Arca Ordinacae x° x 1 — ad Aream Ordinatae x z x 
1— x * ita pi imus Terminus ad illum diftancem intervaJIo z ab ini- 
tio : id eft, ut 2 ad Aceam Ordinatx ^^^^ ; nam pr ior Curvac 
eft quadrabilis. 

EXEMPLUM II. 

Intcrpolanda fic Scries 1, ^a, jb, g-r, ^ d t &c. Divide Nume- 
ratores & Denominacores per eorum incrementum 3 ; & invenies p=z 

■7, r = — ; hinc fit Ordinata prior x — rx i— •x — T, five 

3 3 

1 x x 
, •- & pofterior - . Dein ut Area illi- 

W— 2 vV — 2X'+X* 

us ad Aream hujus ica primus Terminus Seriei ad alium quemcunque 
cujus diftancia ab inicio eft z. 

Propositio XXV. 

Si in Ordinata Curva? x*~~* x 1— x yr + t -~ l fcribantur fuccef- 
ceffive numeri tntegri o, 1, l, 3, 4, &c. pro z t eadem 
erit relatio inter Areas Ordinatarum provenientium 

qute 



128 Interpolatio Serierum. 

qua ejl inter Terminos Seriei a, ja y 

&fc. Ubi Numeratores continue increfctmt, De- 

nominatores vero decrefcunt. Et hic quoque ponoAb- 
fciffam x unitati aqualem. 

Haec Propofitio demonftratur ad modum fuperioris. 

Corollarium. Hinc in Serie a, ^-a, rr-^-a', &c. ut 

f p — I f — 2 f — 3 

Terminus primus a ad alium quemvis intervallo z diftantem a princi- 
pio, ita Area Curvse cujus Ordinata cft J xT — /~ l ad Aream Cur- 
va: cujus Ordinata eft * x i— x^" 1 . 

ExEMPlUM I. 

Detar Series interpolanda r, — a, ^~^ b, ^~—c t —^■J, fcc. cu j as 

Termini funt Unciae binomii in dignitate cujus index eft n. Quoni- 

am hxc Series non cadit dire&e fub hac Propofitione, interpolo Ter- 

1 2 , % „ 
minorum reciprocos i, — —— -t, jp~£'> & c « quo pa£to ent r=r, 

/>=«; adeoque ut Area Ordinatae x* x • — *° ad Aream Ordinata: 

* X i-—* , ita unitas ad Terminum intervallo z diftantem a prin- 

cipio, in Serie pofteriore : vcl ut Area Ordinatae *"~ *xT^x* ad -^, 

ita unitas ad Terminum in priore Serie, intervallo z remotum ab 
initio. 

Ut fi defideretur Uncia Tcrmini quinti in dignitate nona, erit » — 
9, * = 4i quibus fcriptis, erit Area Ordinatae xi^3 4 ad ^ ut u - 
nitas ad Unciam quaefitam. Ordinata autem evoluta eft x' — 4 x<4- 

6^-4*'+*', cjufque Area L_± + | _i + f o , fivc -L_ . Tum 
i i . 

ut 1260 a 10 lta unitas ad 126 ' 1 uae cft Uncia propofita. 

EXEMPLUM 



Digitized by Google 



Interpdatio Serierum. 129 

ExtMPLCM U • • 

Si io potsftate fimplici Binomii, quaeratur Termiaus qui confiftit in 
medio inter duaUndai i & i j erit index binomii »=i, z = j"i & 

cxindeutAreaOrdinataex T xi-^j? r ad — , hoceft, ut Area Circuli ad 
quadratum Circumfcriptum ita unius ad Terminum inter Unciat i 8e i. 

SCHOLION. 

Quando Corre quadrandae funt plurimarum dimenfionum, inveni- 
endae funt aliquot earum Ordinatae per TabuUm Logarithmorum ; ex 
quibus dabuntur Arese per Parabolam Newtonu Quod fi relatio Ter- 
minorum in Serie interpoianda fit inter plurcs Terminos, abfolvetur 
interpolatio per Comparationem aliarum Curvarum. Sed hanc materi- 
am miffam fecicns adjungam quacdam de aliis methodis interpolandi. 

Propositio XXVI. 

Si Series interpolanda fit i, j a, r ^b, j^c, j^j*». 

& ponatur n=r—p, atqtie 
B --._ 1* A, 

»— I »— 2 • T» I " A 

Cas _._«B+ F A, 

E= ^/-=- 4 i«D + — C+— — B+ r . — .— A, 

FsB »..^i»E+— D+ — . 4 C+ ^ . ^ . ^ » 

» »— 1 »—2 »—3 A 

~3 4 5 6 
&c. 

L 1 ^ 



Digitized by Google 



130 Interpolatio Serterunh 

Tum erit z* in A+5 + § + £ + £+ ftTc. 

«tf irrwi imerpolawU primarim vel intermtdius, cu- 
jus dijiamia ab irittio efi z — p. 

Notandum eft Coefficientem A, per Propofitionem decimam oOa, 
vam zqualem efle Terminoin Serie Numeratorum r, ra, 7+i.b, 7Tl.e 
tcc diftantem intervalfo p — r ab mitio •, eamque determmari pcr Ex- 
emplum fecundum Propofitionis vigefimae primae. 

DEM ONSTRATIO. 

'"Serics propofita definitur .ffiquatione differentiali T'=2±?T, ubt 

eft n_r_ p u t in Theoremate & fucceffivt valores indeterminat* 2 
wnt /, /+i, /+2, &c. Finge jam 

r =^ inA +!+p+?+i+&c. 

dein pro T & 2 fcribe «anim valorcs fuccedentes T' & 2+1 r c- 
ipcdive» & emerget * 

T.=fJ. fc A+^ + £. + £ + ^ + &e . 
Vel evolvendo dignitates 
T_ z « i n A+ 

^a+b .A- fiM.;rn-r-2C rq^B,,T7.r^4-6.~n.C4-6p , 
- ^ z* • ~ ! h &c. 

JEquatio refolvcnda T=5±2? Ty hunc in modum fcribatur Tz _ 

Tz— T»==o; & in eadem fubftituantur valores ipforum T & T" 
atque rcfulttbrt . v w * » 

n._^A_2B ■•aTFS^— _ iaC , 

22 1 gj: J-&c=o. 

Ponantur>mNumeratoresxquaIesnihil,&habebunturB_- — 1 ;„ 

1 2 m 

A r- "~~ x K — 2 • « 1 * * 
• 2 ' 2 mB +J A »&c Atque produccndo computum, 

reliquse Coefficicntes prodibunt in Theoremate. Q^E. D. 



Digitized by Google 



Interpolatio Serierum. 1 3 1 



EXEMPLVM I. 

Proponatuf Serio »» 7 «. ^ *, <■» \^ &c. quas dcfinitur _E- 
quatione T'=— ^ T, in qua vafores fucceffivi ipfius z funt 1, 2, 3, 

4, &c hasc comparata cum &quatioae T=— — T, dat »= — j 

& exinde 

B = f-i„A =*x|, 

C=i|i„B_^A = Ax£ 8 , 

__»___*.+£* =A X ^, 

E_&___|c + £-_£a =Ax£f 8 , 

F=a_E^D + gc-2. + j J;A -Axjgfr 

&c. 
Adeoque 

T _A : n , I 3 f 25 IQ^ 1659 62 3 7 

1 — V- ' ^ 8z^ 1 282* ^ io.^ ^3 2768-«^ -621445' ""T 0 ^* 

Quantitas autem A in hujufmodi Exemplis fic dcterminari poflic. 
Per relarionem Terminorum interpolandorum qurere primarium quem- 
vis fatis longc diftantem ab iuitio» verbi gratia decimum fextum, qui- 

hic prodit. 144464448 &c. Hunc fcnbe pro T & interea pro z. 

valorem fuum corrcfpondentem, ncmpe 16-, atque habebis 

.144464448 = ^ in 1 + + ng^l6 + &c « 

vel colligendo Terminos in unam Summam, .144464448 = — in 

4 

1.02422627, unde prodit A -=.5641 8^583548 : quo dato dabitur T 
ia alio quovis cafu per Terminos pauaffimos fui valoris. 

EXEMPLUM 



1 3 2 Interpolatio Serierum. 

ExEMPtUM II. 

Intcrpolanda fit Series^ i, j a, £ B> L c> ii i% & c qux dcfinitur 

JEquatione T' = ^pT, exiftentibus j t ± 1 ~, &c valoribu» 
Abfciflse z fucceffivis: harc comparata cum ^quatione in Thcorcmate 
dat » = - i quo fubftituto obtincbitur 

T = A^zini— -i » -4-- 5 - | *5S i 5 6, ° « * 
92 ~ 21872' t 196832* *T 1771472' T" * & 

Jam ad eruendum Cocfficicntem A, quiero Tcrminum decimum 
quartum Senci interpolandse, qui prodit 4.652136 : hunc deinde va- 

lorem fcribo pro T, & pro 2 vaJorcm fuum dcciraum quartum — , at- 
que habco 3 

4.65*136 =A^ in 1 L j ^-4-&c. 

3 120 ~ 345600 ~ 

Vd extrahendo radicem cubicam numcri j, & colligendo Terminosin 

unam fummam obrineo 4.652136 = ^*2.351505, adeoque A = 
1.978365. Data nunc A, Tcrrainus quilibct alius invenietur fumma 
facilitate Quarratur >s qui confiftit tertia parte intervalli comZi 
ante miHcfimum pnmum: pro z fcribe fuum valorem correfponden- 
tcm 1000, & valor ipfius T prodibit 10 A in 1 — — , five T = 
19.78343. Nam ubi Terminus defideratus longe diftaVTprinciojo & 

SCHOLION. 

Eodcm modo quo in hac Propofitione Radix extrahitur cx M- 

quatione T'=^±?T, extrahitur ctiam cx alia quavis quse fub hac 
forma continetur 

Tx^+V^i^r + &c. =T x* 1 +«»-i + <&'-a +&fc 

Nam 



■ 



Digitized by Google 



Interpolatio Serierum. 1 3 3 

Nam eft index n=a — ; per Propofitioncm fextam ; & inde forma Se- 
riei pro T aflumenda erit 

T = At" + B2*"" 1 + C2""" 1 + &c. 
Quippe in hujufmodi Seriebus quai funt Radices /Equationum Differcn- 
tialium, indices ipfius 2 habent Unitatem pro decremento, praster- 
quam in quibufdam cafibus valde particularibus. Habito ieitur indice 
ipfius 2 in primo Termino habetur forma Seriei afiumendle pro Ra- 
dice T : dein fcribendo 2+1 pro 2, & T pro T, prodibic 

T'= A^T»" ^B^i^+C £f?"~ l + &c. 

Tum reducendo hunc valorem ad formam ipfius T, ut fupra often- 
fum eft, & ducendo utrumque valorem in quantitates quas prsecipic 
JEquatio refolvenda-, dabuntur Coefficientes aflumptse ex collatione 
membrorum homologorum in JEquatione refultante 

Propositio XXVII. 
i$5 Mquath ad Seriem fit T=^pT, ertt Radt* 

T=A+^A + *B + ^C + ^D + ^E+&c 

1 2 1 2.«+-i " 3**-t-3 4-*+4 ' 5-*+f 

22 

/Equatio rcfolvcnda T=^_|_ r T huncin modum fcribatur 22 T— 

22T'— rT =0, & aflumatur 

. B C D E 

*Z "•2.2+l" T " 2.2+1.2+2 ■ 2.2+1.2+2.2+3 +" **** 

Eritque 

B C . D . E 

+ &C. 

Unde , 

Et ducendo in 22 

b* ir* . 3D* | aVz 

" T -" T =*+7 + -fT-fi + i+TVf-^+l + M-i.*+».*-h3*+4 +&c - 

Atque per reductionem 

2C— B . 3D— 4C , 4E—9D , . 
zzT- 22 T = B + -qpj- + + 1 + q^X+t^+i + *«• 

M m Hune 



134- Inttrpolatio Serierutn. 

Hunc v.ilorem fcribe pro zz T — zz T', & pro T' fuum valorem ha«- 
c~tcnus rcpertum, atquc refultabit 

B_r A+ + +i +7f7X+TH-l + &c - =°- 

r r I 1 

Et per collationem membrorum homologorum, B = — A, C — —~ B, 

D = ^j^ C, E = ^-i^ D, &c. Hi funt valorcs Coefficientium : quod 

fi A, B, C, &c. denotent totos Terminos, prodibit valor ipfius T jam 
affignatus. Q. E. D. 

% ExEMPLOM. 

Invenic WaBf\us % ultimum Terminum huius Seriei 1, - A, — B. 

8 80 9 25 

— C, D, &c. efle Aream Circuli cujus Diameter eft unicas ; 

ubi Denominatores funt quadrata numerorum imparium, & uni* 
tate majores Numeratoribus. Videamus autem hic quifnam fit 

ultimus Terminus hujus 1 , A, ^ B, |£ c, |^ D , &c. ubi 

J^umeracores funt quadrata numcrorum panum & unitate majores-De. 

nominatoribus. JEquatio ad hanc Seriem eric T '= 22 , T,exiften- 

ZZ — j 

tibus 1, 2, 3, 4, &c. valoribus Abfciflje 2 fucceflivis: crgo compa- 

rando hanc ^quationem cum illa in Propofitione, eric r = — , quo 

fubftituto prodic 

T _ A _. , ___ , '5 C ■ .JS® 1 6 3 E , ., 
1 ~ A ~4* ^ 8 ZT1 ^ 12.^ ~T 76^f 3 T + &C 

Et ad determinandum CoefHcientem A, qusere Terminum Seriei de- 
cimum, nempe 1.5300.1727.35, quem fubftitue pro T, & interea pro 
z valorem fuum correfpondenteni 10 } atque obcinebis 

1. 5300.1 727.35 = Ain 1 — 771 — A y V» . — o 1,3,15 — &c 

33 ' ' ^ 4,10 4.8. 10.11 4.!.l2.IO,IU2 ac - 

Hoc cft, colligendo Terminos in unum, 1.5300.1727.35 =A in 
^9740.392454» & cxinde A= 1.57079633, utiquc femicircumferentia; 
Circuli : quo dato, facillime dabitur Terminus quilibet Seriei interpo» 
landa: primarius vel intermedius. Conftac autem ultimum ejus Tcr- 

minum, 



Digitized by Google 



Interpolatio Serierum. 135 

, r , 4 16 36 64 100 _ 

minum, five factum fub ommbus — X — X — XrX — X «c. aequale 

3 *5 35 °3 99 
efle primo Coefficienti A, adeoque femiperiferiae Circuli. 

Propositio XXVIII. 

Inventre fummam qmtcunque Logartthmorum> quorum 
numeri funt in progrejfione Arithmetica. 

Delignent x-}-«, x-J-3», *-j-5"i *+7»»-— z— *, quotcunque numeros 
in progrelfione Arithmetica, quorum primus & x-\-n, ultimus 2 — n, & 
communis difFerentia 2». Infuper aenotent /,2 & /,x Logarithmos 
Tabulares numerorum 2 & * •, fitque a — . 43429.44819.03252, fcili- 
cet reciproco Logarithmi naturalis Denarii. Atque fumma Logarith- 
morum propofitorum acqualis erit differentiae inter Series duas fequentcs* 



"^T — 2» — i22"i 3602' 12602' 16802» — 11882' • * c * 

*/,x «x an_ , 7°»* 3i£lL _l ilZf^I 
2» 



m"""' i2x"i"36ox J — 1260X' "*"i68ox»"~ 1188*' ' c ' 
Hae autem Series fic continuantur in infinitum \ pone 

3-4 

— — A + 3 B » 
_^ = A + ioB+ 5 C, 

-T^^A + ^.B+ssC+^D, 

_ -2— - A+36B + 126C + 84D+9F, 
11.20 r j 1 

&c. 

Ubi numeri qui multiplicantur in A, B, C, D, &c in diverfis valo* 
ribus funt Unciae alternae in digniutibus imparibus binomii. Hifce 

praemiffis, erit Coefficiens Termini tertii — — ss A, i« quarti +^- 
== B, quinti _ ^ = C & fic deinceps. 

DSMON- 



i $6 Interpolatio Serierutn. 

Demonstratio. 

Minuatur variabilis z decremento fuo in ; vel quod idem eft, fub- 
ftituatur z—tn pro 2 in Serie 

z/,z az an_ , yan % j\an J . , 
2» ™~ 1« 1 22 3602» ~" 1 2602' ' 
& proveniet valor ejufdem fucceffivus 

I^T»h7ZT» _ _ _ 7*»' ?,\an< _ , 

2» 2« X * ln 12.C— 1» ' 360^-1«»» 1 26o.r^I7 ' + " c 

Hunc fubducito de valore priore, Terminis prius ad eandcm formam 

pcr Divifionem reduais, & rclinqiietur /2— ^ — 

&c. id eft, Logarithmus numeri 2—». Adeoque.univerfalitcj de- 
crementum duorum valorum fuccelfivorum Seriei, x-quatut; Loga ; 
mo ipfius.2— 1» ; quiexprimit in genere quemvis Logarithmorum qui 
erant fummandi. IgiturSeries erit fumma Logarithmorum propofu - 
rum, fi ab eadem lubducatur altera Series. Kam fummse perinde xc 
Arese oofinunquam corrigendx funt, ut evadant vcrse. 

ExEMPLUM I. 

Froponatur invenire fummam Logarichmorum decem numerorum 
101, 103, 105, 107, 109, iii, 113, 115, 117, 1191 hi collati cum 

hifce x-f*, *"T"3 W » *"T"5 W » z — "» ^ ant differentiam communem 

2»= 2, & rt—i ; atque primum x-4-i = 101, fecundum vero 2—1= 
119: unde x— 100, 2=120. Hifce autem fubftitutis, 6c 
.43429.44819.03252 pro a; atque Logarithmis ipforum 100 & 120 
refpective pro /, * flr /, 2 ; valores duarum Serierum invenientur 
78.28491. 4001 2.1 & 98.69290.42601.6, quorum differentia dat 
20.40799.02589.5 pro Summa Logariihmorum defiderata. 

ExEMPLUM IL 

Quaeratur jam Summa Logarithmorum numerorum n, 12, 13, — -iooo, 

quorum pnmus eft 11, & ultimua 1000, & differentia communis unitas. 

. 11 1 21 

Eft igitur »= — , x -J-— = io, 2— — = 1000 ; unde x = --, 2= 

2001 21 2001 

— -— quibus fcriptis, & Logarithmis ipforum — & — — - pro /, x & 

prodeuot pro valorikus Scrierum 2567.20555.42879 & 

6.16067.309 87, 



Digitized by Google 



Interfolatio Serierum. 137? 

6.16067.30987, quorum differentia relinquit 2561.04488.11892 pro> 
Summi Logarithmorum quaefitiL 

Ccterum fi velis fummam quotcunque Logarithmorum numerorum 
naturalium 1, 2, 3, 4, 5, &c pone 2 — n effe ultimum numerorum, ex- 
j 

iftentc r=- ; & tres vel quatuor Termini hujus Serici z/,2— .«2— - 

2^2 28802* — &C ' addit ' Lo 8 aritnmo circumferentisc Circuli cujus 
Radius eft Unitas, id eft, huic 0.39908.99341.79 dabunt fummam quas- 
fitam, idque eo minore labore quo plurcs Logarithmi funt fummandi. 

1 2001 _ . . 

Sic fi ponas z — — = 1000, vel 2= valor Scriei ent 

2567.20555.42879 ut antea; qui adje&us Logarithmo conftanti efficit: 
2567.60464.42221 pro fumma Logarithmorum, primorum mille nu-. 
merorum hujus Serici . 1,2, 3, 4, 5, &c 

Exx mplum nr; 

Oporteat invenire Unciam quingentefimam in dignitate Binomii mil' 
lefima. Conftat per Theorema Nevitoni pro cvolvcndo Binomio Un- - 
ciam illam acqualcm effe produdlo fub quadringenti 6c nonaginta no- 

«.m fa^orlh.,* 999 99 8 997 99^ 502 . 

vem ractonous — , -jS <^-, — , . qqorum pn- 

1000 . 502 

rous eft — - — , & ukimus — ; exrfteotibus tum Numeratoribus tum« 

Dcnominatoribus in progreffione Arithmetica. Ad inveniendam fum~ 
mam Logarithmorum Numeratorum 1000, 999, 998, 997, 502 ; 

pone diflferentiam communem 1=2», maximum corum 1000=2 — 

2 *' 

. 1 . 1 i 

rainimum 502 = x-\- — \ entque n = j,z= 1000 — , x=$oi : qui- 

bus fubftitutis, prodibit 2567.20555.42879 pro valore prioris Serici, 
& 1 136.38715.63268 pro valore pofterioris: horum autem- differcntii 
1430.81839.796n aqualis eft fummac Logarithmorum Numeratorum. 
Dein ut obtincatur fumma I ogarithmorum Denominatorum 1, 2, 3, 

1 1 r » 

4, 499; pone «=-, 2— - =499» "ve 2 = 499- i & Mce 

fcriptis in Serie priore, prodibit ejus valor 1130.9883485966, cui ad- 
jiciatur Logarithmus .39908.99342 juxta regulam in Exemplo priorc 
traditam: & habcbis 1131.38743.85308 pro fumma. Logarithmorum ■■ 
Denominatorum. Quam dcnique fubducito dc fumma f^garithmorum> 
Numeratorum, atquc mancbit 299.43095.94303 Logarithmus fciJicet, 
UAciae defideratae. 

N n Sjdrousmw. 



i38 InterpoUtio Serierum. 

ScHOtlOK. 

"Hujufmodi Series i, -A, ^jB, j~C, &c interpolatur pcx 

Propofitionem vigefimam fextam, ubi differentia inter r & /> eft ex- 
tgua : & per hanc Propolitionem generaliter nulla ratione habita iftius 
difTerentis. Atque eodem plane modo invenire licct fummam Loga- 
rithmorum Numerorum, qui funt longe magis compofiti quam sequi- 
dirTerentcs ; eoque paclo aflignare Terminos Serierum quarum interca- 
latio pro difficillima haberi folet. Per hoc quoque Problema inveniun- 

4rur Area; Curvarum quarum Ordinatae funt hujufmodi i — x ubi 
index Binomii eft permagnus •, fed in eo cafu folo quando pars Areae 
quxfita jacet fupra partem Abfciflie aequalcm Unitati. 

Et fane omnia fere Problemata de Interpolationibus huic Analyfi fub- 
jiciuntur, imo etiamfi tres vel ptures Termini Seriei intercalandae ingre- 
diantur ^Equationem Differentialem : harum enim refolutionem in po- 
teftate habeo. Atque hic notare libet Series quae prodeunt per Para- 
bolam Ntwtoni, prodire etiam pcr noftram methodum. Proponatur 
enim intercalatio Seriei 

ijuse definitur ^lquatbne T'=^^~ T, in qua valores Abfciflse 2 

fucce flivi fu nt o, 1, 2, 3, &c. Ea vero fcribatur in modum fequentem 
*-r* X r— T — »T=o i & fingatur 

t = a -j-Bz-f- Cz.r^i-j-^ 2 *— • i^r+Ez.ir7.*^i.X^7 + & c - 

Atque fubftituendo T' pro T, & 24-1 pro 2, obtinebitur 
T'= A+ B^i .+ Ci~i.z + T>~\.x.—- X + Ei+i .z.—~x.Z~ + &c. 
Unde T'— T = B-f 2C2 + 3D 2.^=7+ 4 E 2.IZ7.£ri + &c. 

Hifce autem valoribus fubftitutis in /Equatione refolvenda, & membris 
reductis ad eandem formam, refultabit 

+ rB7+2.— C1 +3-'~ ;D> _+4„+5EV 

TJcnique poncndo mcmbra homologa ajqualia nihil, habebitur B = 

« . ^ 1 » — 1 „ ^ 1 » — 2 t r, 7 

7 A > C = lXr+7 B > D =3-Xr+I C » E^X^D, &c. 

Adeoque 

T = 



Digitized by Google 



LtterpdatioSerierum. 139 

Hoccft 

T = A4--A- 4- — i — B r— C \- — P — - 5rc. 

Ubi A, B, C, D, &c. non amplius denotant Corfficicntes, fcd Tcr- 
minos totos. Et prima Coefficiens A quae ex &quarione non drrer- 
minatur, squalis eft Tcrmino Seriei interpolandx qui tranfit per ini- 
tium Abfciffe z. Et hic eft ipfiffimus valor Termini T q ji prodiiffec 
per Propofitionem decimam nonam. Atque ctiam Serics quas exhibec 
Propofitio vigefima invenientur per rcfolutionem wflEquationum Diffe- 
rentialium, aflumcndo dcbitam formam radicis. 

Propositio XXIX. 

Detur Series Ordinatarum intervallis quibufcunque ab in- 
vicem dtftantium y pergens vero ex una tantum parte in 
infinitumi cjf oporteat invenire LineamParabolicani 
qu<e tranfit per extremttates omnium. 

Sint A, Ai, A2, A3, A4, &c. Ordinatas tnfiftentes Abfcifix in an- 
gulis re&is; fitque R pundum quodlibet in Abfcifla; & ponatur a = 
RA, *=RAi, C=RAi, </ = RA3, e=zRA^ &c. fcihcet fint «, b, 
c, d t e t &c. intervalla inter Ordinatas & punftum R refpective. At- 
que defignet T Ordinatam quamvis in gcncre cujus diftantia a puncto 
R fit 2. Dein ponatur 




R A Ai A2TA3 A 4 

B= 



140 Interpolatio Serienm. 



_ A2— Ai _ B 2 — Bi _ C2--C1 . 
Bl --7— £-» Cl =-7—T> — , &c. 



B-^, Ca = **=5-\ fcc " 

&c 

Atque erii Ordinata Tb A-f* 

Bx£3+ 

Cx^xI=i+_ 

DXt-4X^4Xt-< + 

F xX^«x*3 X ~ *x «~ < x*^-^ 
&c. 

Notandam eft principium Abfciffie, nempe pun&um R fumi ad arbi- 
trium, vel inter Ordmatas vel extra omnes uc in Schemate dummodo. 
fignorum -4; & — debitt habeatur ratio. PropoCtio autem dcmon- 
ftratur fubftituendo Ordmatas A, Ai, A?, &c. fucccffive pro T, & 
interea pro z longitudines ejus ordine fuccedentes a, b t c, &c. Nam fu- 
mcndo differentias /Equationum provenientium & dividendo eafdem 

Ser intervalla Ordinatarum, obvenient valores Cocfficientium fupra af, 
gnati. 

ExEMPXU M T. 

Sint Ordinatarum a principio Abfciffie, intervalla «ss, f=<, 
d=6 i ipfa vero Ordmatas Cnt 

A= 2, B=r, C=o, D =7» 

Ai=3, B»=t, Ci=2, 
A2-5, B2=7, 

A3 = !2, 

Et ineundo computum juxta pnefcripta Theorematis, invenietur B— 1,. 
C=o, D=^-; quibus fubftitutis & 2 pro A, invenietur T = 2-f* 

^r+-X*-i*-3*-s, quse in ordiaem redocla fitTx 



Digitized by Google 



Interpohtio Serierum. 1 4. i 

z » toz — 2° Etcnim fi inibi fcribantur 2, 3, 5, 6, pro 2j 
prodibunt OrdinatJe propofiUE 2, 3, 5, 12. 

EXEMPLUM II. 

Oporteat determinare tempus Solftitii ex datis aliquot SoJis altitu- 
dinibus meridianis circa idcm tempus. Defignent Ordinatx alcitu- 
dines folis, earumque intervalla denotent tempora inter obfervationes 
tum tranfeat Parabola per extremitates Ordinatarum, & Abfcifla ejus 
quae correfpondct minimse Ordinatse, five ea fit una e datis vel quasvis 
intermedia, determinabit momentum temporis quo Sol ingreditur 
Troptcum. Exempli gratia B. Walterus Anno 1500, Morimberga ob- 
fcrvavit diftantias folis a Zenith ut fequitur 



44975 


8«. 


44934 


9»o 


44883 




44990 


i6*° 



Junii 

Sit jam diftantia obfervata die oftavo Ordinata prima, & in eadem fit 
principium Abfciflje s eritque a=o, r=4, </=8 1 & computu* 

erit 

A = 44975. B=_ 4 t. C=+6, D=+^, 

Ai =44934, Bi=-i 7 , Ci=+^, 

. to 7 

Ai = 44883, B2 = + 4» 
A3 = 4499°, 

Atque fubftituendo hofce valores prb A, B, C, D } invenietur T = 
44975— 4iz+6z.Z^i + —z.~ l .Z'=^> hoc eft, T= 44975— 

iZi z-\- z' -f- 2*. Jam quoniam Abfcifla quzfita correfpondet 

Ordinatas minimse, ponatur Fluxio ipfius T jcqualis nihil, & habebitur 
3224-3742=1500, cujus Radix 3.889355 exprimic dies elapfos intcr 
roeridiem octavi diei Junii & momentum Solftitii : quod itaque accidic 

21 hor. 2cr- min. pr. poft meridiem dici decimas primz, fccundum 
3 

hafce Obfervationes. Poteft etiam tempus Solftitii detcrminari per plu- 
res Obfervationes & Parabolam plunum dimcnfionum ; vcl pcr tres 

O o Obfer- 



1 4.2 Interpolatto Serierum. 

Obfervationes adhibendo Parabolam Conicam, uti docutt HmIUm. 
Sed oportet diffcrentias intcr altitudines obfervatas, efle fenfibilicer 
majorcs erroribus qui committi queant inter obfervandum, alias nihil 
ccrti concludi potcrit. 

SCHOLI ON. 

Ntwtoms utitur hac Propofitione in determinando locum Cometx 
qui cadit inter aliquot loca Obfervationibus nota. Nimirum fi obfer- 
ventvrr quotvis longitudines defignatae per totidcm Ordinatas, quarum 
intervalla proportionalia funt temportbus tntcr Obfervationes, 6c de- 
fcribatur Parabola per Ordinatarum extremitates ; Ordinata» hujus li- 
gurx intermedias denotabunt longirudincs Cometa; intermedias pro 
temporibus quse funt proportionaha Abfciflis. Et eadem methodo da- 
bitur latitudo pro quovis tempore ex datis aliquot latitudinibus. Ex 
longitudine autem & ladtudine datis datur locus Cometas in Caslis. 
Et hunc in modum plurima obfervatu difficilia determinari pofllnt 
fatis accurate ex Obfcrvationtbua aliquot anterioribus & pofterioribus. 

Applicabilis eft etiam hjcc Propofitio ad refolutionem .Squatio- 
num purarum afTectarumve. Nam tn JEquadone refolvenda fcribendo 
pro radice numeros ab eadem haud multum difcrepantes •, provenient 
corum intervalla, qui dein interpolati exhibebunt radicem. Sed poft 
refolutionem ^quationum Hallei fruftra compendioftor fperanda eft. 

In cafu quando intervalla Ordinatarum diminuuntur in infinitum hoc 
Problema dabit radicem ^Equationis fluxionalis, etiamfi nec radix neque 
altcra indeterminata fluat uniformitcr; & hoc mcra fubftitutione flu- 
xionum Radicis pro diffcrentiis Ordinatarum, & pro earum iatervallis 
fluxiones Abfcifls. Nam ficuti cafus Ordinatarum aequidiftantium re- 
fpondet fluxionibus Abfcifise uniformiter crcfccntibus; iu haec Propo- 
fitio fluxionibus quacunquc lege variantibus. Et rcfolutio /Equationis 
fluxionalis in qua utraque indctecminaxa fluit quacunque lejge, non eft 
Corollarium ex hac Propofitione, fed Cafus ejufdem omnium fimplt- 
ciflimus : quod obiter hic monere vifum eft, ut pateat Methodum 
DifFcrentialem generaliffime complccti univerfam Serierum do&rinam, 
quod forte alii non perccperint. 

Propositio XXX. 

Jnvenire /Jfymptoton Hyferbola generis Logarithmici ex 
datis ejus Ordinatts aliquot aquidiftantibus. 

Sint Ordinatae sequidiftantes A, B, C, D, E, &c. infiftentes fuper 
Abfciflam PL in angulis rectis: fitque QJR Afymptotos Curvas pa- 



Digitized by Google 



Interpolatio Serierum. 143 

rallda Abfciffse, & intervallo P Q^ab eadem diftans. Apelletur vero 
Abfciffa qusevis AL z, & Ordinata correfpondens L»y. Hyper- 
bola autem Logarithmica HmK definiatur JEquationc •» ; p 
y — 4 _ _ rr« — . rfr»*— .*r4*— &c 



R 







H 


. Tll 


















I 


» I 


L 


1 CL D l 


: f 



+. 



Ubi r, d, J>, c, <i\ &c. funt quantitates invariabiles j atque 
tia inter Abfciffam & Afymptoton, hoc eft, 

PQ = A+ 

A— B , 

rA— ^B-j-C , 

~r^i.r 1 —i ' 
r » A — r » - ff ' - frB+g_+M- 1 C — B 
r— i.r* — l.f»— 1 

r« A—r^^-f^-r^B-j K^ ±'1+1' + q^C^T^TpD+E 

^Hr.r 1 — l.r»— I.r*— I 
&C 

Coefficientes literarum A, B, C, D, fiec. ln dJrcrfl-Tcioiinls, forman- 

n — 1 n — r 

tur percontinuam mukiplicationem numerorum i, ,, r , —1 » r i_ t » 

»7" r> , &c. In primoautemTerroinoeft»=r*, in fecundo »=r l , in 

ttrtio' jr=r* f in quarto n=r», & fic porro. Exempli gratia, in quar- 
toTermino Cocfficicntes fumpti ordinc inverfo funt i, i+r+r*, 

r + r «+r», r», negleftiB fignis, eft vero i Xjz^T = , + r + r "» 

iq^Pxr^^r+r^+r», denique r+r'+r»x£_7 = r>; 

fic itaque inveniuntur Coefficientes. In hfc autcm Propofitionc exci- 

1 P»o 



1 



Digitized by Google 



144 Interpolatio Serierum. 

pio cafun» in quo eft r=+i; tunc enim degenerat Hyperbola in li- 
ncam rectam. 

Scrics vcro fic inveftigatur. In yEquatione aflumpta y=a—br*- «. 

rr"— .&c. mueetur fignum AbfcuTs: z, & prodibit y=« — ^ 

c <i 

ps. — — L — &c. evadat jam z infinitc magna, atque in valore Or- 

dinatx y evancfcent omnes Termini pneter primum dummodo con- 
cipiatur r efle major unitate; eoque patto ent y =a\ hoc eft, Or- 
dinata ad diftantiam infinitam remota, five diftantia incer Abfciffam & 
Afymptoton PQ^sequalis eft primo Tcrmino a: nam in diftantia infi- 
nici coincidit Curva ci«m fua Afymptoto. Quantitas autcm a fic in- 

veftigatur in jEqliatione prius aflumpta y=a — br* cr"-— </r>*— . 

&c. fcribe Ordinatas aequidiftames A, B, C, D, E, &c. fuccef- 
five pro y, & interea o, i, 2, 3,4,&c. pro Abfcifla z: ac prodibunt 



A=<* — b — c —d — ? — &c. 
B=a — ir — f r* — i/r 3 — rr" _&c. 
C =a— br « — cr 4 — Jr * _rr ' _ &c. 

D=a — br l — cr s — Ar* — tr" &c. 

E=j — br*—cr* — dr" _ <r'* _&c. 
&c. 

Habentur igirur tot ^Equationes quot funt incognitae a, b, c, d, e, &c. 
cx quibus quaeratur a per Algebram vulgarem, atque ejus vaJor pro- 
dibit idcm ac jam ipO P Q^aflignatus elt. Q^ E. D. 

CoroSarium. Hinc fi dcntur aliquot Tcrmini initialcs in Scrie infini- 
ta, quorum diffcrcntia: liint uraximc ifl progreffiona Grometricu da- 
bitur ukimus omnium utique qui rcmovetur ad diftantiam infinitam 
ab iottio. Nam fi A, B, C, D, &c. ordine invcrfo fumpti, dcfi Rn ent 
Terminos quorum differencise funt fcrc in proportione Gcometrica ut 
r llr ,y J r% \ r> :^ c - ^ 11 ™ 8 omnium sequahs erit PQ intervallo inter 
Abfciffam & Afymptoton : vcl ftylo Gregoriano dabitur Terminatio Seriei. 

EZEMPLUM. 

Datis Polygonis aliquot regularibus Circulo infcriptis, invenire ulti- 
mum Polygonorum five Aream Circuli. Ea funto 



Digitized by Google 



Inierpolatio Seriernm. 14 5 

4 l 2.00000.00000.0000 = F 3.1 4033.1 1 569.5475 

8 2.8284271 247.4619 =: E 126.08888.0294 

16 3.06146.74589.2072 = 0 6072.7439 

32 3.12144.51522.5805 = 0 5-5652 

64 3- l 3 6 54-%49°5-459* = B 119 
128 3.14033.1 1569.5475 = A - 

3.141^9.^6535.8979 

Dicatur jam ulcimum Polygonum A, penuhimum B, antepenultimum 
C, & fic retro. Et quonum corum difftrentiae A — B, B — C, C — D, 
&c. funt quamproxime ut Tcrmini 1, 4, 16, 64, 256, &c. id eft, uc 
dignitates Quatcrnarii, erit 1=4 ; quo fubftituto, Series generalis evadit 
, A — B , 4A— ;B-|-C , 64A— 84B+21C— D , „ 

A + — + a .t 5 + i^V"'+ &0 

In qua fcribe pro A, B, C, &c. fuos valores, & primi quinque Tcr- 
mini dabunt Aream Circuli ad quindecem loca figurarum, ut ex com- 
puto appofito manifeftum eft. Et fimUiter res confit pcr Polygona 
circumfcripta. 

Hac autcm ratione qurcvis Series fummari poteft. Nam fi Ordina- 
tse sequidiftantes denotent fummas fuccefiivas, vaJor totius Seriei aequa- 
bitur diftantise inter Afymptoton & Abfciflam. Si Series fummanda fic 
hujufmodi a-\-bx-\-cx* -\-dx l -}-&c. ubi *, **, x», &c. denotant par- 
res Terminorum quje funt in progreflione Geometrica, erit r=xj & 
valor ipfius PQ_converget eo celerius quo longius Summae fuccefiivas 
diftant a principio, quae denotantur per A, B, C, D, &c. In cafu au- 
tem quando eft r = + 1, aflumenda cft Hyperbola quse definitur hu- 

jufmodi /Equatione ;s - in a-f- - + ^-\-- % -f- &c. vioe Hyperbo- 

Ise Logarithmicae 1 atquc index n decen#iabitur ex natura Serici futn- 
mandse. 

Nocandum eft Series infiniiaa scquc fummarf pofle pcr Parabolam 
Newtoni ac per hafce Hyperbolas. Nam Ordinata» quas in HyperbolU 
funt atquidiftantes, fi ad cerus quafdam diftantias conftituanturi ex- 
hibebunt, ope Parabolre, eafdem exprefijones pro valoribus Serierum. 

Numerus figurarum quae veras funt in Polygono A, duplicantur pcr 
duos Tcrminos Seriei, criplicancur pcr treB, & ita deinceps. Sic in Ex- 
emplo allato funt cres verse figurse 314 in Polygono Aj & indc quin- 
que Termini dederunc Aream Circuli ad quindecem figurarum loca. Ec 
hae funt Approximationes quales olim invenerunt Jacobus Gregorius & 
Hugenius: hic quidem triplicavit veras figuras, ac ille eafdem quadru- 
plicavit, quintuplicavit, imo fine limite produxit, uti vidcre eft in Ap- 
pcndice ad Vtram Circuli & Hyperbola guadraturam. 

» »" < 

P p Propo- 



1 4* Interpolatia Serierum. 



Propositio XXXf. 

Inveritre Aream cujufvis Curva quamproxime ex datis alt- 
quot ejus Ordtnatis aquidtfiantibus. 

Per extremitates Ordinatarum defcribe figuram Parabolicam, ejufque 
Area quse invenitur per mechodos notas, proxime aequabitur Ares 
Curae propofitse. O^, E, I. 

Scholiom. 

Quoniam laboriofum efiet fempcr recurrere ad Parabolam, compu- 
ravi Tabulam fequentem quae exhibet Aream Curvse dire&e cx datis 
aliquot ejus Ordinatis aequidiftantibus. 



3 
5 
7 
9 

3 
5 
7 

9 



Tabula Arearum. 

A£B R 

7A4-32B-f-i2C R 
90 

4iA4-2i6B 4- 27C-f-272D „ 
840 R 
989A4-5888B~9 28C +i0496D — 4540E 
28350 

Tabula CorreBionum. 
P-4A4-6B 

180 

P— 6A-J-I 5B— 20C „ 

P— 8A4-28B— 56C+70D 

930 R 

P 1 OA4-45B— 1 2QC4-2 1 0D^2 52E 

1600 ~ R 



In hifce Tabulis A eft fumma priraas & uhimse Ordinatas, B feeundae 
k pcnultimae, C tcrti* & antepenultimae, & fic porro ufque dum 

devcntum 



Digitized by Google 



InUrpdatio Serkrum. 147 

deventum fueric ad Ordtnatam in medio omnium qu* per ultimam li- 
terarum A, B, C, &c. reprcfentatur. R eft bafu fupra quam jacet A- 
rea, feu pars Abfcifia: inter primam & ultimam Ordinaram intercepta. 
P eft fumma duarum Ordinatarum quarum una confiftit ante primam, 
altera poft ulcimatn ad diftantias -quales intervallo communi reliqua- 
rum Ordinatarum. Numcrus autem Ordinatarum qui hic eft impar, 
fignatur ad latera Tabularum. Exprelfiones in Tabula Arearum iunc 
Arcas contentas intcr Bafin, Curvarn & Ordinatas binc indc extremas. 
Ese vcro in Tabula Correttionum funt ejufdcm circitcr magnitudinis 
ac differencias inter Areas veras & eas per Tabulam prodcuntes: adeo- 
que fi prima Egura CorrcAionis inveniatur, dcin adjiciatur ubi Correftio 
eft ncgativa, vel fubducatur quando eadem cft afBrmativa j concludcre 
tuco liccc Arcam fic correfbim, veram efle in eo Ioco decimalium in 

Suo intrat prima figura Corredtioois, nec ultra. Itaquc^pcr Tabulam 
brrectionum Area invenca corrigicur, & fimul numcrus figurarum 
vcrarum dignofcicur. 

ExEMPLUM* 

Sit j^j-; Ordinatx Hyperbola: «quilaterse , & quaa-atur Area eju* 
qusc jacet fupra Abfciflam unitati sequalem. Pro * fcribe fucceflive 

8~' sf' 8*' 8' 8"' 8~' 8~' 8* & pro vemcnt novem Ordinatar 

_ _ _. JL 8 £ I j. | 
8» 9* 7o' 11' 12* 13* 14' '5' *6 

8,8* 8 8 64 _ 8 , 8 48 

Igiturcft A = g- + 76 = -, B=- + - = ~, C= Vo + ~ = ~, 

D = — -i- — = E_r^- = |-: & hifrc fuhftitutii in ultiraa ex* 
11 • 13 143' 12 3 

preflione Arearum, & unitate pro R, oritur Area .69314721. De- 



indc in Ordinata ^j- fcribc -y & -f 9 - fucceffive pro *, & provcni» 
8 S 

ent duse Ordinatse — & — •» quarumprior ftat ante primam, & pofterior 

poft ulcimam ; adcoque P = y -f ~j = : quem fubfticue pro P r 

& pro A, B, C, D, E, fuos valores, & CorrecYio pro novcm Ordina- 
tis dabit -f- .0000000?, quse quum alfirmativa fic, fubducatur a valore 
Areac orius invento, & rcftabit .69314718 accurata in ultima figura. 

Comru» 



14*3 



Interpolatio Serierum. 



Computaveram hafce Tabulas ulrerius, ceterum Exprefliones pro 
undecem aut pluribus Ordinatis funt ufibus inepti propter immenfam 
magnitudinem CoefEcientium numeralium. Sin vero novem Ordinata; 
non dent Aream fatis accuratam ; dividatur bafis in duas vel plures par- 
tes ; & inde Area dividetur in totidem, quarum quamque fi quarras feor- 
fim per novem Ordinatas, habebis totam Arcam pro lubitu accuratam. 
Sed & nonnunquam convenit quxrere partem^Areas per Seriem infini- 
tam, prscfertim fi Curva decuflet bafin in angulo recro. Atque hifce 
praecognitis, Area quaevis habebitur fatis accurate per Tabulam jam 
appofitam. 

Sed & Areas Curvarum haud incommode exprimi pofilnt per Dif- 
fcrentias Ordinatarum aequidiftantium ad modum fcquentem. 

Tabula Arearum per Differemias Ordirtatarum. 
A 

A "T-gT B 
A +f B +£ c 

A +r B +r 0 c +£ D 



13 



86 



A-f - B + -C 4- -V D 4- ■§-, E 

«75 1 3445 , 4045 



3 

25 



94 



A + SB + ^C+^D+^E + ^ 



10 1 ai 1 700 » 1^350 
In hac Tabula A eft Ordinata in medio omnium, 



_ , 66 _ 
F4 G 

^3050 



B eft differentia 

fecunda trium Ordinararum in medio, C eft differentia quarta quin- 
que Ordinatarum in medto, & fic porro ad ultimam literarum A, B, C, 
D, E, F, G, qua; eft ukima differentia omnium Ordinatarum. Ut fi 
fmt quinque Ordinaue a, d y e; erit A = e, B = i — 2<"4-</, C = 
<f-_4i-J-6f — 4d-\-e. Et fic in aliis cafibus. Exprefilones autem 
duftse in bafin Curvae, five partem Abfciflae contentam intcr primam 
& ultimam Ordinatam, dant Areas ex dato numero Ordinatarum qui 
fignacur ad larus. Notandum eft ultimos Terminos in expreflionibus 
pro novem, undccem & tredecem Ordinatis, non efle veros fed hifce 
fimpliciores & vero fatis proximos. Nam Ordinau media A & dif- 
fcrentiae B, C, D, E, &c. conftituunt Sericm convergentem * ideoque 

noo 



Digitized by Google 



Interpolatio Serierum. 1 4* 

non requiritur ut Coemcientes ukimorum Terminorum qui intrant com- 
putum, Cnt pnecife accurati. Ex convergentia autem Scriei A, B» 
C, D, &c. dignofcitur ad quot figuras Area exhibetur accurata ; ideo- 
que haec Tabula non indiget Tabula Correctionum. Sed & Coeffi- 
cientes numerales funt longe magis exigui quam in Tabula fuperiore» 
atque ea de caufa hsec pralerenda eft, praeferrim in magno Ordinata- 
rum numero. 

Quaeratur rurfus Area Hyperbolae, cujus Ordinata eft ; pro x 

fcribc o, — , — , — » - i & provenient quinquc Ordinata: aequidiftan- 
4 4 4 4 « 

tes 1, — , -. r» 7 : erit igitur A=|-, nempe Ordinaue mediae : 
5 3 7 2 3 

« ±_ fcilicet differentiae fecundas trium Ordinatarum in medio- 

5 1 
_. "L — : denique C= — , hoc eft, aequalis ultimae differentiae om- 

5*3*7 

nium. Et hi valorcs fubftituti in Expreffione pro quinque Ordinatis 

j nnr L 4_ — 4- = p^-y quae dufta in bafin fivc unitatem 6c 

redulta ad decimales, evadit .693 1 7 pro Area qusefita. Et haec Area ad 
minimum jufta eft in quarto decimalmm loco, in quo fcilicet intrat pri- 

ma figura ultimi Termini ~. 

Sed ut differentiae promptius ac facilius inveniantur ; fit a Ordinata- 
media, * fumma duarum hinc inde media: proximarum, dein c fun> 
su duarum quas hinc inde fcqountur, & fic porro, tum pone. 

B—b— 2A, 
C=r— 2A— 4B, 
D=<f— 2A— 9B— 6C, 

E=<" 2A — 16B — zoC — 8D, 

F=/— 2A— 25B— 50C— 35D— .10E, 
G=g— 2A— 36B — 105C— 112D—54E— 12F, 

Atque A, B, C, D, &c. erunt Ordinata media, differentia fccnnda 
trium mediarum, quarta quinquc mediarum, & fic porro in reliquis 
i*rpe£ttve. 

Qjl Paopo- 



1 5 o Interpolatio Serierum. 

Propositio XXXII. 

Defignent a, b> c, d, e, f y Terminos aquidijlantes con- 
ttnue tendentes ad rationem aqualttatts, $3* JEquattones 
jequentes approximabunt ad eorumdem relationes, 



a — l—O 



a — ib-\-(=o 
a— 3 i-J-3 c — rfc=o 
a — 4^+6 c — -\d-\-s = o 

^i-^-iof — tod-f-5'— /= o 

a— jb+i i 35^-1-35?— 2 1/4-7^—4=0 
9 j 4 — 8J+28f— 56^4-70*— 56/4-2 8g— 8£-|-/=o 
I0 I a — 9 ^-[-3 6<r— 3 1 2 6^ — 1 2 6/4-8 4g— .3644-9' — *_o 

&c. 

Hasc Tabula in ufum refervanda eft, ut confularur quoties opus fit. 
Patet autem Coefficientes numerales efle Uncias dignitatum binomii. 
Et demonftratio patet : quoniam enim Termini fupponuntur continu» 
tcndere ad rationem xqualitatis, erunt eorum differentiae a—b, b — r, 
<_r/, d—r, &c. parvsj dcinde differentiae differentiarum a — 2i4" c » 
b— ,ic-\-d, r— zd-\-e t &c. erunt minores differentiis primis j atque ter* 
tise a — 3^+-3f — d t b — 3<4"3^ — ?, &c. erunt minores lecundis i & quar- 
tx a—±b-\-6c-— 4</-J-f, &c. erunt minores tertiis, & fic in infinicum. 
Ergo differentias primae, fecundae, tertlae, reliquasque pofitae atquales 
nihil ut in Propofitionc, continue approximabunt ad veram rclationem 
Tcrminorum. C4E. D. 

CoroUarium. Hinc in Serie aequidiftantium, fi defit Terminus quivis, 
poteft is inveniri per hanc Propoficionem. Ut fi fint quinque Termini 

b, c y d, e ; eorum rclatio crit a—4b-\-6c — 4<H-'=o ; & ex hac JE- 
quatione dabitur eorum quilibet quamproxime ex datis reliquis. 

Et notandum cft Terminum quemvis, ceteris paribus, co accuratius 
dcfiniri, quo propius conftet medio omnium : atque errores a vero efle 
quamproxime ut Coefficientes numerales Terminorum quxfitorum re- 
ciproce. ConGftat igitur Terminus qusfitus vel in medio omnium vel 
cidem quantum ficri poteft proximus. 

ExEMPLPM. 



Digitized by Google 



Interpolatio Serierum. 1 5 1 



EXEMPLUM. 

Quaeratur Logarithmus numeri 53 ex datis Logarithmls numerorum 
aliquot antecedentium. Pone a pro Logarithmo quaefito, eritque 

/,52=*= 1.7 1600.33436 
/, 5 i=r= 1.70757.01 761 
/,50=«/= 1.69897.00043 
/,49=^=1.69019.06800 
/, 48=/= 1 .6 8 1 24. 1 23 74 
/,47=^=1.67209.78579 

Deinde rclatio inter feptem Terminos a, b, c, d, e, /, g, erit 
a — 6b-\- isc— iod-\-i$e — 6f-\-g=.o, adeoque <j = 6i — i5c-\- 
20^ — 15 e-\-6f — g: ubi fubfticuendo pro b, c, d, e, f, g, fuos valores, 
habebitur 1.72427.58726 pro a five Logarithmo numeri 53, exiftente 
.00000.00030 errore in excefiu. Ceterum fi dencur fex Logarithmi quo- 
rum tres confiftunt ante, & tres reliqui poft illum qui quaeritur -, in eo 
inquam cafu Logarithmus quaefitus accuratiffime defimetur. 

igitur defignent A, B, C, D, &c. fummas datorum Terminorum 
qui hinc inde aequalicer diftanc a quaeGco, & ejus valores erunc ut in 
Tabula fequente 

A 
2 

4A — B 

~6~ 
15A— 6B-L-C 
20 

56A— 18B+8C— D 
70 

210A— izoB-f-^gC — 10D4-E 

252 
&c. 

Dcntur verbi gratia Logarithmi numerorum 50, 51, 52, 54, 55, 56, 
& oportcat invenire Logarithmum numeri 53. Pone 

'>5 2 -K 54=3-448397 »034 
(»5i+/. 55=3-44793^8656 

/,50-K 56=3.447» 5' 8o 3 »«? 



4 
6 
8 
10 



1. !. .. • 



Dcin 



152 Interpolatio Serierum. 

Te C im£;,° £' fubftituc ho , fcc va,ores in Expreffione pro fex 

SnTJ , w Rrodlb,t - '-72427.58695 pro Logarithmo numeri 53, «- 
.ftentc unitate errore u . ultima figura. Hinc in Tabulis LogaShmi- 
cis, Tngonometricis, Aftronomicls, aliifque rjufmodi •, fi dcfit Se 

S^fi n ^^ ,S • infC " P Cf ^ Propofitionm , vd fifuf! 

SrW M T q ^ CmV,S , e . rroncum c »" e > P«eft eadem methodo 
"L^ E *P^mones hic cxhibit* funt generalcs, utique q_« 
non depcndcnt ex natura Tabute cujufvi, particularis. R * 



Propositio XXXIII. 



Deftgnent &c. e ,t, y, /3, a, a, b, c, d 9 e, ®c. Terminos 
alternos tn Serie utrinque excurrente in infinitum, 6f 
ponatur A = a+a, B = _-f-/3, C = c+y, D = d+t, 

& f tQ P orro \ Mque Terminus in medio in- 
ter a & oc confiflens, aqualis erit 



^XA-B-f- 
i | s X2A_ 3 B+C + 
^X 5 A_c>B+ 5 C__> + 
•^— X mA—Is B~+_oC_ 7 D+E + 



Coeflfcientes numerales literarum A, B, C, D. &c dmt ,«ff_-_ • 
Unciarum in divcrfis dignitatibus Binomn' Et Cotmcttct ^Td': 
cuntur in totos Terminos, fcilicet I -^, &c . gcnerantur ^ 

continuam multiplicationem numerorum -2- --L. _Z_ a, U / - 

4.2' 4.4' 46' i _g» < *c.riilce 
vero praxognms, Series ad libttum producitur 

v ?Jfii eriC t inVCfti$arU _'_ 0 _ Cnd0 ^ 2 = o in Cafu { ™*o Propofitionis 

ca,ra haUtur 0rdinau fivc t *™™w cS: 

Poffinc 



Digitized by Google 



Interpolatio Serierum. 1 5 3 

Poffint autem Tcrmini Serici in unam fummam colligi ut hic vides, 
A 



A 

6 
8 

10 



a 

qA-B 



150A— .23B-4-3C 



1225A— 245B4-49C— 



2048 



8C— 405D+55E 



65536 



Prima Expreffio eft primus TermiMis Senei,;feTuoda eft Summa 
primi & fccundi, tertia eft Summa trium prfmorum Terminorum, & 
fic deinceps. Ex daris itaqae Terminis alternis, intcrmedii confeftim, 

dabuntur per hanc Tabulam vel per ipfam Seriem. Prima Expreffio - 

fufficit quando fecundus Terminus Seriei minor eft quam qui ingre- 
diatur computum. Et fimiliter In reliquisi nam Tertfoiai Seriei fiint 
differenti?e inter Exprefiioncs & vcritatem quamjproxmre : adeoque fem- 
per fcire licec qusenam expreffio fufficit propofito. 

Exempli gratia, fi quseratur Logafithmus numeri 53 ex datis iis. 
numcrorum 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60 ; pone 

A 52+/» 54=A=j.44839-7»035 
h 5<*-H 56=8=3.44715.80313 
/1 4«-f-A 5 8 = c — 3-44466.92309 
/, 46-p, «bs=D*£:3.44P9o.9082a . 

Et hifce valoribus fcriptis in Serie; vcl in Expreffione pro oc"to Ter* 
minis, habcbitur 1.72427.58696 prc^^ogtrithmo^rtirtleri 53. Ec ci- 
dem ratione invenire licec quemvis alium intermedium. In Conftru- 
ctione ergo Tabubrum fufficit primo quaerere aliquos Terminos in de* 
bitis diftantiis ; nam reliqui poffun t hsk methodo mfcri. Etenim con- 
tinue intercalandi funt Termint primcr inventi, ' ufque dtim perventum 
fuerit ad ultimos qui ingrediuntur Tabulam. Et notandum eit, opoc- 
tcre omnes Terminos computari circa initium Tabul» propter magnas 
differentias s dein per faltum pertranfire licet alternos decrefcentibus 
diffcrentiis ; & poftea ternos, feptenofque ubi differentiae funt minores. 
Et hacc eft methodus quam prsccipit Newtmus : ceterum prsefcrcndse 
funt rcgulse particulares deducWex natuirii labife rthitruend* j 
nim hse minorc laborc plerumquc abfolvcnt opus. 



F I N I S, 



Digitized by Google 



E R RAt A. 

2 



pAG. 4. |. 5 . pro z-f-j, lege z-f |-. 

Pag. 8. L 18. pro a-J-4, lege 2 — 4. 
Pag. 44. i. 8. pro Ty.f'—, lege Tx ~ 



Pag. 67. 1. 12. pro B= 2 ' 3 ' 3 B, letre C= 2 ' 3 ' B B 

Pjg. 76. I. 26. pro y+xy y lege jf+*) : . 

Pag. 80. J. 13. pro 2^)i)-, lege axvi. 
Pag. 83. 1. pcn. pro eritque, lege ent. 
pAg. 91. 1. 21. delc &c. 

Pag.94.L12.pro lege 

Pag. 115. 1. 12. pro media, lege medio. 

Pag. 120. L 3. pro periferiz, lege femiperiferise. 

Pag. 122. 1. 1 5 . pro 46, lege 4, 6. 

Pag. 136. 1.28. pro *-J-j- = io, legex+j- = tt. 

Pag. 137. L 5 . pro r=7, lege »= J-. 

' 1 
Ibid. L21. pro *=#>i, legex = 5 oi— . 

Pag. 147. I. 18. pro Ordinatae, lege Ordinata. 

Ibid. I 1$. pro K lege f-. 



t 



Date Due 





■ 













































































































































i 


9 









Digitizedb 




AHH ^i|g&3 by Google 



# 



Google:.-
Internet Archive Audio

Featured

Top

Images

Featured

Top

Software

Featured

Top

Texts

Featured

Top

Video

Featured

Top

Mobile Apps

Browser Extensions

Archive-It Subscription

Save Page Now

Full text of "Methodus differentialis: sive tractatus de summatione et interpolatione serierum infinitarum"

See other formats
